§5.4 解三角形及其综合应用专题检测1.(2019宁夏银川一中二模,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c=b,C=60°,则B=( )A.45° B.45°或135°C.30° D.30°或150°答案 A 在△ABC中,∵2c=b,C=60°,可得b=,∴由正弦定理=,可得sinB===,∵b<c,∴B为锐角,∴B=45°.故选A.2.(2019东北育才中学模拟,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=ac,sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B,则角A=( )A. B. C. D.答案 B 在△ABC中,∵sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B,∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B.再由正弦定理可得ab+bc=2b2,即a+c=2b,∴两边平方,可得4b2=a2+c2+2ac,∵b2=ac,∴4ac=a2+c2+2ac,整理可得(a-c)2=0,∴a=c,可得b==a=c,∴A=.故选B.3.(2018山东菏泽3月联考,8)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB-c-=0,a2=bc,b>c,则=( )A. B.2 C.3 D.答案 B 由b2=a2+c2-2accosB可得acosB=,又acosB-c-=0,a2=bc,所以c+=,即2b2-5bc+2c2=0,所以有(b-2c)·(2b-c)=0.所以b=2c或c=2b,又b>c,所以=2.故选B.4.(2018河南郑州一模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为( )A.28 B.36 C.48 D.56答案 C 在△ABC中,2ccosB=2a+b,由正弦定理,得2sinCcosB=2sinA+sinB.又A=π-(B+C),所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),所以2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,得2sinBcosC+sinB=0,因为sinB≠0,所以cosC=-,又0<C<π,所以C=.由S=c=ab·sinC=ab×,得c=.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab(当且仅当a=b时取等号),所以≥3ab,得ab≥48,所以ab的最小值为48,故选C.5.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+asinB=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=,则△ABC的外接圆的半径为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A 由正弦定理,得sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC,又sinC=sin(A+B),∴sinAsinB+sinAcosB=sinB+sin(A+B),可得sinAsinB-cosAsinB=sinB,又sinB≠0,∴sinA-cosA=1,∴sin=,由0<A<π,得-<A-<,∴A-=,∴A=.由点D是△ABC的重心,得=(+),∴=(++2||·||cosA)=,结合已知条件可解得||=2,即c=2.由余弦定理,得a==,由正弦定理,得△ABC的外接圆半径R==1.故选A.6.(2019吉林长春外国语学校模拟,7)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,若c=,△ABC的面积为,且c=2cosC(acosB+bcosA),则△ABC的周长为( )
A.5+ B.3+ C.5+ D.7+答案 C ∵c=2cosC(acosB+bcosA),∴由正弦定理可得sinC=2cosC(sinAcosB+sinBcosA),可得2cosCsin(A+B)=2cosCsinC=sinC,∵C∈(0,π),sinC≠0,∴解得cosC=,∴C=.∵c=,∴由△ABC的面积为=absinC=×a×b×,解得ab=6,∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得7=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-18,解得a+b=5,∴△ABC的周长=a+b+c=5+.故选C.7.(2019甘肃兰州一中模拟,5)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a、b、c,若a=2b,则的值为( )A. B.-C.1 D.7答案 B 由正弦定理得==,原式=-1=2×-1=-.故选B.8.(2019福建漳州二模,8)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosA=bcosC+ccosB,b+c=3,则a的最小值为( )A.1 B. C.2 D.3答案 B 在△ABC中,∵3acosA=bcosC+ccosB,∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,即3sinAcosA=sinA,又A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosA=.∵b+c=3,∴两边平方可得b2+c2+2bc=9,由b2+c2≥2bc,可得9≥2bc+2bc=4bc,解得bc≤,当且仅当b=c时等号成立,∴由a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-≥9-×=3,∴a的最小值为.故选B.思路分析 根据正弦定理将边化角,逆用两角和的正弦公式化简得出cosA,由已知利用余弦定理和基本不等式即可求出a的最小值.9.(2018山东日照二模,11)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD为正三角形,则△BCD面积的最大值为( )A.2+2 B. C.+2 D.+1答案 D 在△ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理得:AC2=12+22-2×1×2cosα,∵△ACD为正三角形,∴CD2=AC2=5-4cosα,S△BCD=·2·CD·sin=CD·sin=CD·cosβ+CD·sinβ,在△ABC中,由正弦定理得:=,∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=sinα,∴(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)2,∵β<∠BAC,∴β为锐角,CD·cosβ=2-cosα,∴S△BCD=CD·cosβ+CD·sinβ=·(2-cosα)+sinα=+sin,当α=时,(S△BCD)max=+1.方法指导 设∠ABC=α,∠ACB=β,设法找出α、β与CD的关系,进而将S△BCD表示成关于α的函数,从而求其最大值.方法总结 在解决多个关联三角形问题时,应找出联系各三角形的纽带,进而利用正、余弦定理进行转化,最终使问题得以解决.10.(2020湖南、河南、江西高三3月线上联考,14)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,已知A=,b=1,且(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),则a= .
答案 2解析 因为(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),所以(a2+4b2)c=8(b2+c2-a2),又b=1,所以(a2+4b2)bc=8(b2+c2-a2),所以=8×=8cosA=4,则=4,解得a=2.11.(2018广东七校3月联考,16)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=,且-sin(B-C)=sin2B,则△ABC面积为 . 答案 或解析 ∵A=,且-sin(B-C)=sin2B,∴=sin2B+sin(B-C),即sinA=sin2B+sin(B-C),又sinA=sin(B+C),∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosB+sinBcosC-cosBsinC,即cosBsinC=sinBcosB.当cosB=0时,可得B=,C=,∴S△ABC=ac=×2×2×tan=;当cosB≠0时,sinB=sinC,由正弦定理可知b=c,∴△ABC为等腰三角形,又∵A=,∴a=b=c=2.∴S△ABC=a2=.综上可知△ABC的面积为或.思路分析 利用sinA=及三角恒等变换化简已知等式,从而可得cosBsinC=sinBcosB,进而利用分类讨论思想及三角形的面积公式求得结果.易错警示 求解时,易忽视cosB=0的情形,从而导致漏解.一题多解 由已知及A+B+C=π可得-sin=sin2B,即sin2B+sin=,∴sin2B-cos2B-sin2B=,即sin=.∵A=,∴0<B<π,∴-<2B-<π,∴2B-=或,∴B=或.当B=时,C=,∴S△ABC=×2×2×tan=;当B=时,△ABC是边长为2的等边三角形,∴S△ABC=a2=×4=.综上可知,△ABC的面积为或.12.(2017北京东城二模,12)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=,则BD= ;△ABD的面积为 . 答案 2;-1解析 在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cos∠BCD=1+4-2×1×2×=4,∴BD=2.在△ABD中,由正弦定理得=,∴AB===-,∴S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×(-)×2×=-1.思路分析 在△BCD中利用余弦定理求BD.在△ABD中利用正弦定理求AB,然后利用三角形面积公式求△ABD的面积.13.(2019黑龙江牡丹江一中模拟,14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2且ccosB+bcosC=4asinBsinC,则c的最小值为 . 答案 解析 ∵ccosB+bcosC=4asinBsinC,
∴sinCcosB+sinBcosC=4sinAsinBsinC,∴sin(B+C)=sinA=4sinAsinBsinC,∵sinA≠0,∴sinBsinC=,∴sinC=,当sinB取最大值时,sinC最小,且为,由正弦定理可得=,即c=2×=8sin2C,当sinC=时,c取最小值.14.(2019北京东城二模,15)如图,在四边形ABCD中,AC=,CD=2AD,∠ADC=.(1)求∠CAD的正弦值;(2)若∠BAC=2∠CAD,且△ABC的面积是△ACD的面积的4倍,求AB的长.解析 (1)在△ACD中,设AD=x(x>0),则CD=2x.由余弦定理得7=x2+4x2-2x·2x·cosπ,整理得7x2=7,所以x=1(舍负).所以AD=1,CD=2.由正弦定理得=,所以sin∠DAC=.(6分)(2)由已知得S△ABC=4S△ACD,所以AB·AC·sin∠BAC=4×AD·AC·sin∠CAD,化简得AB·sin∠BAC=4AD·sin∠CAD.所以AB·2sin∠CAD·cos∠CAD=4AD·sin∠CAD,于是AB·cos∠CAD=2AD.因为sin∠CAD=,且∠CAD为锐角,所以cos∠CAD==.因此AB=.(13分)15.(2020山东烟台一中期末,17)在条件:①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos,③bsin=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=2, .求△ABC的面积. 解析 若选①:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cosA===,因为A∈(0,π),所以A=,又a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,a=2,b+c=6,所以bc=4,所以S△ABC=bcsinA=×4×sin=.若选②:由正弦定理得sinAsinB=sinBcos.因为0<B<π,所以sinB≠0,所以sinA=cos,化简得sinA=cosA-sinA,即tanA=,因为0<A<π,所以A=.又因为a2=b2+c2-2bccos,所以bc==,即bc=24-12,所以S△ABC=bcsinA=×(24-12)×=6-3.若选③:由正弦定理得sinBsin=sinAsinB,
因为0<B<π,所以sinB≠0,所以sin=sinA,又因为B+C=π-A,所以cos=2sincos,因为0<A<π,所以0<<,所以cos≠0,所以sin=,即=,所以A=.则a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又a=2,b+c=6,所以bc=4,所以S△ABC=bcsinA=×4×sin=.16.(2019广西南宁二中、柳州高中第二次联考,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-c)cosB=bcosC.(1)求角B的大小;(2)若b=3,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径.解析 (1)由已知(2a-c)cosB=bcosC,结合正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C),又sinA=sin(B+C)>0,所以cosB=,又0<B<π,所以B=.(2)由(1)知B=,又因为b=3,在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以32=a2+c2-ac,即9+3ac=(a+c)2.又(a+c)2≥4ac,所以9+3ac≥4ac,即ac≤9.从而S△ABC=acsinB=ac≤,当且仅当a=c=3时,S△ABC取得最大值.设△ABC内切圆的半径为r,由S△ABC=(a+b+c)r,得r=.
