第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第七节 n次独立重复试验与二项分布A级·基础过关|固根基|1.(2019届安徽安庆二模)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )A．B．C．D．解析：选C 由已知得P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝，故选C．2．(2019届广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A．B．C．D．解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D．3．(2019届湖南长沙一模)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A．0.75B．0.6C．0.52D．0.48解析：选A 设一个这种元件使用1年为事件A，使用2年为事件B，则这个元件在使用到1年时还未失效的前提下，使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝＝＝0.75，故选A．\n4．甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，3人各答1次，则3人中只有1人及格的概率为( )A．B．C．D．以上全不对解析：选C 设“甲答题及格”为事件A，“乙答题及格”为事件B，“丙答题及格”为事件C，显然事件A，B，C相互独立．设“3人各答1次，只有1人及格”为事件D，则D的可能情况为A，B，C(其中，，分别表示甲、乙、丙答题不及格)，A，B，C不能同时发生，故两两互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.5．将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是( )A．，B．，C．，D．，解析：选A P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，即n(B)＝91，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有6×5×4－5×4×3＝60(种)情况，即n(AB)＝60，所以P(A|B)＝＝.P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不相同”共有6×5×4＝120(种)情况，即n(A)＝120，所以P(B|A)＝＝.故选A．6．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，P≥，则n的最小值为( )A．4B．5C．6D．7\n解析：选A ∵将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，P≥，∴P＝1－≥，∴≤，即n≥4，∴n的最小值为4.7．(2020届石家庄摸底)有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，用小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．解析：记小目标M没被套上为事件A，则P(A)＝×＝，所以小目标M被套上的概率P＝1－＝.答案：8．(2019届东北三省四市一模)若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为________．解析：设事件“从8件产品中取出2件产品中有1件不是一等品”为A，事件“从8件产品中取出2件产品中有1件是一等品”为B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝＝，所以另1件是一等品的概率为P(B|A)＝＝＝.答案：9．(2019年全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.\n10．(2019届南京模拟)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．(1)求恰有2次击中目标的概率；(2)现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记X为射手射击3次后的总得分，求X的概率分布列与数学期望E(X)．解：(1)设X为射手在3次射击中击中目标的次数，则X～B.在3次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝C＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，6.P(X＝0)＝C＝；P(X＝1)＝C＝；P(X＝2)＝××＝；P(X＝3)＝×＋×＝；P(X＝6)＝＝.∴X的分布列是X01236P∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋6×＝.B级·素养提升|练能力|11.某批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是( )A．B．\nC．D．解析：选C P＝C××＝.12．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名工人选择的项目所属类别互异的概率是( )A．B．C．D．解析：选D 记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意知，事件Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互独立，P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，(i＝1，2，3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.故选D．13．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10～2021～3031～4041～5051～60个数1040805020若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )A．B．C．D．解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为＝，则所求概率为C×＋＝.14．(2019届中原区校级月考)2017年诺贝尔奖陆续揭晓，北京时间10月2日17：30首先公布了生理学和医学奖，获奖者分别是三位美国科学家霉尔(JeffreyC．Hall)、罗斯巴什(MichaelRosbash)和杨(MichaelW.Young)，表彰他们“发现控制生理节律的分子机制”．通过他们的研究成果发现，人类每天睡眠时间在7～9小时为最佳状态，从某大学随机挑选了100名学生(男生、女生各50名)做睡眠时间统计调查，调查结果如下：\n睡眠时间(小时)[4，5](5，6](6，7](7，8](8，9](9，10](10，11]男生561212852女生0261812102请根据上面表格回答下面问题：(1)请分别估计出该校男生和女生的睡眠平均时间(以表格中的频率代替总体的概率)；(2)若从全校(人数较多，且男女人数相当)睡眠最佳状态的人群中随机选出20人进行深度睡眠时间测试，记选出的女生人数为ξ，求ξ的期望．解：(1)男生的平均睡眠时间T1＝4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＋8.5×＋9.5×＋10.5×＝7.2(小时)；女生的平均睡眠时间T2＝4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＋8.5×＋9.5×＋10.5×＝8.06(小时)．(2)根据表格可以估计出全校的睡眠最佳状态的学生中女生的占比为，根据二项式分布知ξ～B，因此E(ξ)＝20×＝12.
