课后限时集训(六十七) n次独立重复试验与二项分布建议用时：40分钟一、选择题1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A．B．C．D．B [设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，则P(AB)＝×，P(A)＝.所以P(B|A)＝＝.]2．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )A．B．C．D．B [甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1＝××＝，所以三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－P1＝，故选B.]3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A．B．C．D．D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C2＝.]\n4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45A [令A＝“第一天空气质量优”，B＝“第二天空气质量优”，则P(AB)＝0.6，P(A)＝0.75，P(B|A)＝＝0.8.]5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×，以上说法正确的是( )A．②③B．①②③C．②④D．①③C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为×＋×＝，所以①错误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为×＋×＋×，所以③错误，排除A.故选C.]二、填空题6．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)＝________. [因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.]7．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________． [设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2×＋C3＝3×＋＝.]8．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．\n [三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，则电路不发生故障的概率为：p＝×＝.]三、解答题9．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P()＝.(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P()＝×＋×＝，P(X＝3)＝P(A1)＋P(A2A3)＝×2＋×2＝，P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2)＝3×＋3×＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.综上，X的分布列为X2345P\n10．唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位．唐三彩的制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件做检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n.如果n＝2，再从这批唐三彩中任取3件做检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果n＝3，再从这批唐三彩中任取1件做检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．(1)求这批唐三彩通过检验的概率；(2)已知每件唐三彩的检验费用都为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩做质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列．[解] (1)设“第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品”为事件A1，“第一次取出的3件唐三彩全是优质品”为事件A2，“第二次取出的3件唐三彩都是优质品”为事件B1，“第二次取出的1件唐三彩是优质品”为事件B2，“这批唐三彩通过检验”为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝C2××3＋3×＝.(2)X的所有可能取值为300,400,600，P(X＝300)＝C3＋C2×＝，P(X＝400)＝3＝，P(X＝600)＝C2×＝.所以X的分布列为X300400600P1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A．B．3×C．×D．C×3×\nB [由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.]2．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A．B．C．D．D [甲不跑第一棒共有A·A＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝，故选D.]3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0.18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]4．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式 (0,1000](1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．[解] (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．\n故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．(2020·郑州模拟)手机是人们必不可少的工具之一，极大地方便了人们的生活、工作、学习．某调查机构调查了某地区各品牌手机的线下销售情况，将数据整理得到如下表格．\n品牌ABCDEF其他市场占有率30%25%20%10%6%1%8%每台利润/元1008085100070200该地区某商场出售各种品牌的手机，以各品牌手机的市场占有率作为各品牌手机的售出概率．(1)此商场有一个优惠活动，即每天抽取一个数字n(n≥2，且n∈Z)，规定若当天卖出的第n台手机恰好是当天卖出的第一台D品牌手机时，则此台D品牌手机可以打五折．为保证每天该活动的中奖概率小于0.05，求n的最小值；(lg0.5≈－0.3，lg0.9≈－0.046)(2)此商场中的一个手机专卖店只出售A和D两种品牌的手机，A，D品牌手机的售出概率之比为3∶1，若此专卖店某天售出3台手机，其中A手机X台，求X的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值．[解] (1)售出一台D品牌手机的概率P＝0.1，售出一台非D品牌手机的概率P′＝0.9，由题意可得0.9n－1×0.1＜0.05，即0.9n－1＜0.5，所以n－1＞≈6.52，故n＞7.52，即n的最小值为8.(2)依题意可知A品牌手机售出的概率P1＝，D品牌手机售出的概率P2＝，X的所有可能取值为0,1,2,3，则可得X～B，所以P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C××2＝，P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝，故X的分布列为X0123P所以此专卖店当天所获利润的期望值为×1000×3＋×(1×100＋2×1000)＋×(2×100＋1×1000)＋×3×100＝975(元).
