课时作业(六十八) n次独立重复试验与二项分布一、选择题1．(2015·韶关模拟)一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为( )A.B．C．D．答案：A解析：加工零件A停机的概率是×＝，加工零件B停机的概率是×＝，所以这台机床停机的概率是＋＝.2．(2015·济南模拟)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.B．C．D．答案：D解析：设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝＝＝.故应选D.3．(2015·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.B．7\nC．D．答案：D解析：在五次移动中，要达到(1,0)点必须满足向右移动3个单位，向左移动2个单位，每次移动相互独立．则P＝C32＝.故选D.4．(2015·福建厦门质检)若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )A.B．C．D．答案：A解析：至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C2；或三次都击中，其概率为C3，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P＝C2＋C3＝.5．(2015·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A．1B．C．D．答案：B解析：设事件A：第一次抛出的是偶数点，B：第二次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝＝＝.6．(2014·新课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8B．0.757\nC．0.6D．0.45答案：A解析：设一天空气质量优良为事件A，连续两天的空气质量优良为事件AB，由题意P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.二、填空题7．(2015·广州模拟)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为________．答案：解析：由题意可知，一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1－＝.设此射手每次射击命中的概率为p，则(1－p)4＝，所以p＝.8．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.答案：解析：∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.9．(2015·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．答案：7\n解析：设事件A＝“任选一人是女生”，B＝“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P(B|A)．由于P(A)＝，P(AB)＝，则P(B|A)＝＝＝.10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．答案：解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.三、解答题11．(2015·日照检测)“光盘行动”倡导励行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持．为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率“光盘族”占本组比例第1组[25,30)500.0530%第2组[30,35)1000.1030%第3组[35,40)1500.1540%第4组[40,45)2000.2050%第5组[45,50)ab65%7\n第6组[50,55]2000.2060%(1)求a，b的值，并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”所占比例；(2)从年龄段在[35,40)与[40,45)的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队．①已知选取2人中1人来自[35,40)中的前提下，求另一人来自年龄段[40,45)中的概率；②求2名领队的年龄之和的期望值(每个年龄段以中间值计算)．解：(1)n＝＝1000，b＝1－(0.20＋0.20＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.30，∴a＝1000×0.30＝300，样本中的“光盘族”人数为50×0.3＋100×0.3＋150×0.4＋200×0.5＋300×0.65＋200×0.6＝520，样本中“光盘族”所占比例为＝52%.(2)①记事件A为“其中1人来自年龄段[35,40)”，事件B为“另一人来自年龄段[40,45)”，所以概率为P(B|A)＝＝＝.②设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75,80,85.P(ξ＝75)＝＝，P(ξ＝80)＝＝，P(ξ＝85)＝＝.∴ξ的分布列为ξ758085P所以E(ξ)＝75×＋80×＋85×＝81.25.12．(2015·青岛一模)2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为，，，，并且各个环节的直播收看互不影响．(1)现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率；7\n(2)若用X表示该班某一位同学收看的环节数，求X的分布列与期望．解：(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A，则P(A)＝C2×＋C3＝.(2)P(X＝0)＝×××＝；P(X＝1)＝×××＋×××＋×××＋×××＝；P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝；P(X＝3)＝×××＋×××＋×××＋×××＝；P(X＝4)＝×××＝.即X的分布列为X01234PX的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋＝.13．一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图，如图．7\n(1)求a的值；(2)根据样本数据，试估计盒子中小球质量的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi(i＝1,2,3，…，n)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn)(3)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.(2)50个样本小球质量的平均值为＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均值约为24.6克．(3)利用样本估计总体，该盒子中小球质量在(5,15]内的概率为0.2，则ξ～B.ξ的取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C3＝，P(ξ＝1)＝C·2＝，P(ξ＝2)＝C2·＝，P(ξ＝3)＝C3＝.∴ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.7
