第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级·基础过关|固根基|1.a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是( )A．20B．16C．10D．6解析：选B 当a当组长时，共有1×4＝4(种)选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，所以共有4×3＝12(种)选法．因此共有4＋12＝16(种)选法．2．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )A．2160B．720C．240D．120解析：选B 分步来完成此事，第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，则共有10×9×8＝720(种)分法．3．直线l：＋＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A．6B．7C．8D．16解析：选B 由题意知，l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab≥10，即ab≥20.当a＝1时，不满足；当a＝3时，b＝8，即1条；当a∈{5，7}时，b∈{4，6，8}，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为2×3＝6.故满足条件的直线的条数为1＋6＝7.故选B．4．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，若车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( )A．180种B．360种C．720种D．960种解析：选D\n 由题意知，按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此可选的车牌号码的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．5．(2019届泸州模拟)如图，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在同一块中种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A．12B．24C．18D．6解析：选C 四块地种2种不同的花共有CA＝6(种)不同的种植方法；四块地种3种不同的花共有2A＝12(种)不同的种植方法，所以共有6＋12＝18(种)不同的种植方法，故选C．6．(2019届福州市高三质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )A．90种B．180种C．270种D．360种解析：选B 可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有·A种不同的安排方案，根据分步计数原理，不同的安排方案的种数为A··A＝180.故选B．7．已知A，B，C，D四个家庭各有2名小孩，四个家庭准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名小孩(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选B 若A家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有CCC＝12(种)乘坐方式，若A家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B，C，D家庭中的一个，有CCC＝12(种)乘坐方式，所以共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B．8．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个；十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．答案：8\n9．从－1，0，1，2这4个数中任选3个不同的数作为函数y＝ax2＋bx＋c的系数，求可组成多少个不同的二次函数．解：a，b，c的一组不同的取值对应着一个不同的二次函数．第1步，确定a(a≠0)的值，有3种方法；第2步，确定b的值，有3种方法(这时，b可取0)；第3步，确定c的值，有2种方法．故可组成3×3×2＝18(个)不同的二次函数．10.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少不同的染色方法．解：由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种).B级·素养提升|练能力|11.设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7B．10C．25D．52解析：选B 因为集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2×5＝10.12．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3B．4C．6D．8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同理，公比为，，时，也有4个．故共有8个等比数列．13．(2019届湖南名校月考)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2，且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )\nA．240B．204C．729D．920解析：选A 当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)凸数．14．在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________．解析：依题意可知，当a＝1时，b＝5，6，两种情况；当a＝2时，b＝5，6，两种情况；当a＝3时，b＝4，5，6，三种情况；当a＝4时，b＝3，5，6，三种情况；当a＝5或6时，b各有五种情况．所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20(种)情况．答案：20
