离散型随机变量及其分布列[考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．\nX01…mP…1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1．设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为( )A．B．C．D．C [由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )A．B．C．D．D [P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]\n3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是．0,1,2,3 [因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.]4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为．X012P0.10.60.3[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列为X012P0.10.60.3 ]考点一 离散型随机变量的分布列的性质 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．1．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝，公差d的取值范围是． [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.]2．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．则：(1)a＝；\n(2)P＝；(3)P＝.(1) (2) (3) [(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.]3．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．[解] (1)由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579从而Y＝2X＋1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为\nη0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为ξ014916P0.20.10.10.30.3点评：由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．考点二 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量分布列的求解步骤[典例1] 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元．若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表．周需求量n1819202122频数12331以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场某周初购进20台空调器，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列．[解] (1)当n≥20且n∈N时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000，当n≤19且n∈N时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000，所以f(n)＝(n∈N)．\n(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，所以当周的利润X的所有可能取值分别为8800,9400,10000,10200,10400，易知P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1.所以X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1点评：求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时要注意应用计数原理、古典概型等知识．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝＝.故X的分布列为X200300400P考点三 超几何分布 超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：\n①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．[典例2](2020·西安模拟)现要调查某县城居民对某项政策的知晓率，专家在进行评估时，从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格．已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下．(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解] (1)从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，基本事件总数为C＝120(个)．抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的基本事件数为CC＝21(个)．那么从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率P＝＝.(2)由题可知，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.点评：超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；\n(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；(3)设Y表示取到粽子的种类，求Y的分布列．[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A)＝＝.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的分布列为X123P(3)由题意知Y的所有可能值为1,2,3，且P(Y＝1)＝＝＝，P(Y＝3)＝＝＝，P(Y＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.综上可知，Y的分布列为Y123P
