n次独立重复试验与二项分布[考试要求] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．牢记并理解事件中常见词语的含义(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为；\n(4)A，B恰有一个发生的事件为A∪B；(5)A，B至多一个发生的事件为A∪B∪.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )(3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立．( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )A．B．C．D．D [根据题意，在第1次抽到文科题后，还剩4道题，其中有3道理科题，则第2次抽到理科题的概率P＝，故选D．]2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )A．B．C．D．B [因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.]3．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )A．B．C．D．A [用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.]\n4．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件数，则X服从二项分布，记作．X～B(100,0.02) [根据题意，X～B(100,0.02)．]考点一 条件概率 求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A． B． C． D．B [法一(直接法)：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.法二(缩小样本空间法)：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝＝.]2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为．0.72 [设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]3．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(AB)＝，P(A|B)＝.\n [如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝，P(A|B)＝＝.]点评：判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．考点二 相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[典例1] (1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．①求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；②记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．(1)C [设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.](2)[解] ①记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，\n则P(D)＝1－P()＝1－××＝.②由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝P()＝××＝；P(ξ＝1)＝P()＋P()＋P()＝××＋××＋××＝；P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝.所以ξ的分布列为ξ0123P点评：含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解的关键在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．[解] (1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.\n所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.考点三 独立重复试验与二项分布 二项分布的实际应用问题，主要是指与独立重复试验中的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：①定型，“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．②定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．③列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．④求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 独立重复试验的概率[典例2－1] (1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是．(2)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．①假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；②假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；③假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．\n(1) [由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C·＝C＝.](2)[解] ①设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C××＝.②设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝×＋××＋×＝.③设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ＝0)＝P(123)＝＝；P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝×＋××＋×＝；P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＝×＋×＝；P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝.所以ξ的分布列是ξ01236P点评：在求解过程中，本例(2)中②常因注意不到题设条件“有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”，盲目套用公式致误；本例(2)中③常因对ξ的取值不明，导致事件概率计算错误．\n 二项分布[典例2－2] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为X012P(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，\nP(Y＝k)＝C，所以P(Y＝0)＝C·＝，P(Y＝1)＝C··＝，P(Y＝2)＝C·＝.∴Y的分布列为Y012P点评：(1)注意随机变量满足二项分布的关键词：①视频率为概率；②人数很多、数量很大等．(2)求概率的过程，就是求排列数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做到：①分清②判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．1．袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．[解] (1)X可能取值1,2,3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X分布列为X123P(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝k)＝×，k＝1,2,3,4，P(X＝5)＝.\n故X分布列为X12345P(3)因为X～B，P(X＝k)＝C，k＝0,1,2,3,4,5.所以X的分布列为X012345P2.某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．[解] (1)设Ai表示所抽取的3人中有i个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A，则P(A)＝1－P(A0)＝1－＝.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，由已知得X～B，∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝＝.∴X的分布列为X0123P\n∴E(X)＝3×＝.
