第8讲条件概率与独立事件、二项分布1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是( )A. B.C.D.解析：选C.依题意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故选C.2．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为( )A.B.C.D.解析：选B.因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.3．(2022·赣州摸底)要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为( )A．4B．5C．6D．7解析：选C.设甲、乙被选中的概率为P(AB)＝，甲被选中的概率为P(A)＝，所以P(B|A)＝＝＝0.4，解得n＝6.4．如果X～B，则使P(X＝k)取最大值的k值为( )A．3B．4C．5D．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法．因为P(X＝3)＝C，P(X＝4)＝C，P(X＝5)＝C，经比较，P(X＝3)＝P(X＝4)＞P(X＝5)，故使P(X＝k)取最大值时k＝3或4.5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗的成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗)．依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.5\n根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.726．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为，用X表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，由题意可知X～B，即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5.故P(X＝4)＝C×＝.答案：7．(2022·高考福建卷节选)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝××＝.(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为X123P8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解：(1)P(A)＝＝.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．所以P(B)＝＝.当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.9．(2022·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．5\n甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)＝C＋C＝.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝C＝＝；P(X＝2)＝C＝＝；P(X＝3)＝＝.因此X的分布列为X0123P所以X的数学期望为EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.1．(2022·陕西省质量监测)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A，B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A后B再A的顺序各投篮一次，教师甲在A和B点投中的概率分别是和，且在A，B两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X的分布列和数学期望；(2)若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．解：(1)根据题意知X的可能取值为0，2，3，4，5，7，P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝C×××＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝××＝，P(X＝5)＝C×××＝，P(X＝7)＝××＝，所以教师甲投篮得分X的分布列为：X0234575\nP所以教师甲投篮得分X的数学期望为EX＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P＝×＋×＋×＋×＋×＝.2．(2022·武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q1＝0.25，在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖，以后都在N处发射，用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为X02345P0.03P1P2P3P4(1)求随机变量X的分布列；(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M处射中为事件A，在N处射中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2.根据分布列知：当X＝0时，P()＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.当X＝2时，P1＝P(B＋B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，当X＝3时，P2＝P(A)＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，当X＝4时，P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48，当X＝5时，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24.所以随机变量X的分布列为：X02345P0.030.240.010.480.24(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB) ＝2(1－q2)q＋q＝0.896.5\n所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．5
