课时作业(九) 幂函数与二次函数一、选择题1．(2015·日照模拟)已知点是幂函数f(x)图象上的一点，则f(x)是( )A．偶函数 B．奇函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数答案：B解析：设f(x)＝xα，则f＝α＝，解得α＝－1，故f(x)＝x－1＝.所以f(x)是奇函数．故应选B.2．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A．[0,1] B．[0,2]C．[－2,0] D．[－1,0]答案：D解析：f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2，若f(x)在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故应选D.3．(2015·宁波模拟)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．与x有关不确定答案：A解析：由题意知，∴当x≥0时，cx≥bx≥1，∴f(cx)≥f(bx)，当x<0时，cx<bx<1，f(cx)>f(bx)．综上知，f(bx)≤f(cx)．故应选A.4．已知P＝2－，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是( )5\nA．P<Q<R B．Q<R<PC．Q<P<R D．R<Q<P答案：B解析：由函数y＝x3在R上是增函数知，3<3，由函数y＝2x在R上是增函数知，2－>2－3＝3，∴P>R>Q.故应选B.5．(2015·济南模拟)对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是( )A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(3，＋∞)答案：B解析：f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知，即解得x>3或x<1，故应选B.6．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a<b)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A．8B．6C．4D．2答案：C解析：如图，对于函数f(x)＝x2＋1，当x＝±2时，y＝5.故根据题意，得a，b的取值范围为或5\n∴点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.故应选C.二、填空题7．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝________.答案：解析：设f(x)＝xa，由＝3可得＝3，即2a＝3，a＝log23，∴f＝2－log23＝.8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则f(1)的最小值为________．答案：4解析：由题意，利用数形结合易知则f(1)＝a＋c＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝c＝1时等号成立．9．若二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案：－2x2＋4解析：∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称．∴2a＋ab＝0，∴b＝－2或a＝0(舍去)．∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，f(x)＝－2x2＋4.10．(2015·东营模拟)记f(x)＝ax2－bx＋c，若不等式f(x)>0的解集为(1,3)，则关于t的不等式f(|t|＋8)<f(2＋t2)的解集为________．答案：{t|－3<t<3}解析：由题意知f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＝a(x－1)(x－3)，且a<0，故二次函数在区间[2，＋∞)上是减函数．又因为8＋|t|≥8,2＋t2≥2，故由二次函数的单调性知，不等式f(|t|＋8)<f(2＋t2)，等价于8＋|t|>2＋t2，即|t|2－|t|－6<0，故|t|<3，5\n所以解集为{t|－3<t<3}．三、解答题11．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，对称轴x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.(2)对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知，a＝－或－1.12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．解：(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1＞k在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减，∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1，即k的取值范围为(－∞，1)．13．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，设f(x)＝x的两个实根为x1，x2.5\n(1)如果b＝2且|x2－x1|＝2，求a的值；(2)如果x1<2<x2<4，设函数f(x)的对称轴为x＝x0，求证：x0>－1.解：(1)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x＋1(a>0)．方程f(x)＝x可转化为ax2＋x＋1＝0.|x2－x1|＝2，则(x2－x1)2＝4，(x1＋x2)2－4x1x2＝4.①由韦达定理可知，x1＋x2＝－，x1x2＝.代入①式，可得4a2＋4a－1＝0.解得a＝，a＝(舍去)．(2)证明：∵ax2＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的两根满足x1<2<x2<4，设g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，∴即解得∴2a－b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x＝x0，∴x0＝－>－1.5
