课时作业(五十二) 椭 圆一、选择题1．(2015·衡水一模)已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)或(0，－1)答案：D解析：由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时，取“＝”．故应选D.2．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )A．(0,3) B．C．(0,3)∪D．(0,2)答案：C解析：当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c＝，由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.3．(2015·锦州模拟)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则此椭圆长轴长的最小值是( )A．1B．C．2D．2答案：D解析：当三角形过两焦点与短轴端点时面积最大，此时·b·2c＝1，即bc＝1.由a2＝b2＋c2≥2bc＝2，∴a≥.∴长轴长的最小值为2a＝2.4．(2015·洛阳一模)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点F(c,0)，方程ax28\n＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在( )A．圆x2＋y2＝2上 B．圆x2＋y2＝2内C．圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情况都有可能答案：B解析：由题意，知e＝＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＋1＝2－＝<2，∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，点A在椭圆上，且AF1垂直于x轴，·＝c2，则椭圆的离心率e等于( )A.B．C．D．答案：C解析：如图，由椭圆的几何性质可得|AF1|＝，假设A在x轴上方，则A，而F1(－c,0)，F2(c,0)．故＝，＝，所以·＝0×2c＋×＝.由题意可得＝c2，所以b2＝ac，即a2－c2＝ac，也就是1－e2＝e，解得e＝或e＝(舍)．故应选C.6．(2013·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F8\n的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②，得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.故应选D.二、填空题7．(2014·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.答案：12解析：椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.8．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆＋＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为________．答案：10＋2解析：显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，8\n∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋＝10＋2.9．已知椭圆＋＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·取最小值时|＋|的取值为________．答案：3解析：由已知得a＝2，b＝，c＝1，所以F2(1,0)，A1(－2,0)，设P(x，y)，则·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2＝3－x2，代入上式，得·＝x2＋x＋1＝(x＋2)2.又x∈[－2,2]，所以x＝－2时，·取得最小值．所以P(－2,0)，求得|＋|＝3.10．(2015·合肥一模)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________．答案：＋＝1解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，∴圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故所求椭圆的方程是＋＝1.8\n三、解答题11．(2014·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c＝及题设，知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②，得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12．(2015·临沂模拟)已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上任意一点，且|PF1|·|PF2|的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．解：(1)由抛物线y2＝4x的准线是x＝－1，得椭圆C的一个焦点是F1(－1,0)，即c＝1.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，8\n∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时取等号．∴a2＝2，∴b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则其方程为y＝k(x－2)．由消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)．∴x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.∵点P在椭圆上，∴＋2×＝2，整理得16k2＝t2(1＋2k2)，又∵|－|<，∴||<，∴＝·<，∴(1＋k2)<，化简，得56k4＋38k2－13>0，∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>，∴<k2<.又∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－.8\n∵<k2<，∴<8－<4，∴<t2<4，∴－2<t<－或<t<2.故所求实数t的取值范围是∪.13．(2015·泰安一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2.以O为圆心，a为半径作圆，若过点P的圆的两切线互相垂直，切点分别为A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|＋|＝，求直线l的方程．解：(1)由题意知，椭圆的半焦距c＝1，∵过点P的⊙O：x2＋y2＝a2的两条切线互相垂直，∴四边形OAPB为正方形，∴＝a，∴a＝.由a2＝b2＋c2，知b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，将x＝－1代入椭圆方程，得y＝±.不妨设M，N，∴＋＝＋＝(－4,0)，∴|＋|＝4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线的方程为y＝k(x＋1)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，由根与系数的关系，知x1＋x2＝，8\n从而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，又∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，∴＋＝(x1＋x2－2，y1＋y2)，∴|＋|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2＝2＋2＝，∴＝2，化简得40k4－23k2－17＝0，解得k2＝1或者k2＝－(舍去)，∴k＝±1，∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.8
