课时作业(十二) 函数模型及其应用一、选择题1．(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B．C.D．－1答案：D解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故应选D.2．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况答案：B解析：设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n×a<a，故该股民这支股票略有亏损．故应选B.3．(2015·济南模拟)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．( )A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据题意，x小时后的酒精含量为0.8×(1－50%)x，∴0.8(1－50%)x<0.2，∴x<，解之得x>2.即至少要经过2小时后才能驾驶机动车．故应选B.4．(2015·佛山模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A．15次B．14次7\nC．9次D．8次答案：D解析：抽n次后容器剩下的空气为(40%)n，由题意知，(40%)n<0.1%，即0.4n<0.001，∴nlg0.4<－3，∴n>＝≈7.54，∴n的最小值为8.故应选D.5．(2015·武汉模拟)如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过mmin后桶1中的水只有升，则m的值为( )A．7B．8C．9D．10答案：D解析：由题意，得ae－5n＝a－ae－5n⇒e－n＝.再经过mmin后，桶1中的水只有升，则有ae－n(5＋m)＝，即e－n(5＋m)＝2－3，亦即＝3，∴＝3，解得m＝10.故应选D.6．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差)，f(n)的单位为元，而k(n)＝现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A．600元B．900元7\nC．1600元D．1700元答案：D解析：由题意知，k(18)＝200，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．又∵k(21)＝300，∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元)．故应选D.二、填空题7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．答案：148.4解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)．合计为148.4元．8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7\n答案：8解析：设过滤n次才能到达市场要求，则2%n≤0.1%，即n≤，∴nlg≤－1－lg2，∴n≥7.39，∴n最小为8.9．(2015·晋江模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%.九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．答案：20解析：七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，则一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]万元．根据题意，有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66.令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.10．(2015·济南模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)答案：y＝ 16解析：当0<x≤20时，y＝33x－x2－100－x＝－x2＋32x－100，当x>20时，y＝260－100－x＝160－x，∴所求的函数关系式为y＝当0<x≤20，x∈N*且x＝16时，ymax＝156，当x>20，x∈N*时，ymax<160－20＝140，故年产量为16件时，所得年利润最大．三、解答题11．某市有两家乒乓球俱乐部，其收费标准不同，A俱乐部每张球台每小时5元；B7\n俱乐部按月收费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在A俱乐部租一张球台开展活动x小时的费用为f(x)元(15≤x≤40)；在B俱乐部租一张球台开展活动x小时的费用为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；(2)问选择哪家比较合算？为什么？解：(1)由题意，可得f(x)＝5x(15≤x≤40)．当15≤x≤30时，g(x)＝90，当30<x≤40时，g(x)＝90＋(x－30)×2＝2x＋30，∴g(x)＝(2)当5x＝90，即x＝18时，f(x)＝g(x)；当15≤x<18时，f(x)＝5x<90，g(x)＝90，∴f(x)<g(x)；当18<x≤30时，g(x)＝90，而f(x)＝5x>5×18＝90，∴f(x)>g(x)；当30<x≤40时，g(x)＝2x＋30≤2×40＋30＝110，而f(x)＝5x>5×30＝150，∴f(x)>g(x)．综上，当15≤x<18时，选择A俱乐部比较合算；当x＝18时，两俱乐部都可以；当18<x≤40时，选择B俱乐部比较合算．12．(2015·上海黄浦区一模)我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民族文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)＝8＋(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足g(x)＝143－|x－22|(元)．(1)求该村的第x天的旅游收入p(x)(单位千元，1≤x≤30，x∈R*)的函数关系式；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？解：(1)依题意，有p(x)＝f(x)g(x)＝(143－|x－22|)＝(2)①当1≤x≤22，x∈N*时，7\np(x)＝8x＋＋976≥2＋976＝1152，当且仅当x＝11时，等号成立．∴p(x)min＝p(11)＝1152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋＋1312，考查函数y＝－8x＋，可知函数y＝－8x＋在(22,30]上单调递减，∴p(x)min＝p(30)＝1116(千元)．又1152>1116，∴日最低收入为1116千元．该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2＝8035.2(千元)＝803.52(万元)．∵803.52>800，∴该村在两年内能收回全部投资成本．13．有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员2m(160＜2m＜630，且m为偶数)人，每人每年可创利n(n＞0)万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的.为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y＝(2m－x)(n＋0.02nx)－0.8nx.整理，得y＝－[x2－2(m－45)x]＋2mn，则二次函数y＝－[x2－2(m－45)x]＋2mn的对称轴方程为x＝m－45.∵－＜0，∴当x＜m－45时，函数y是递增的，当x＞m－45时，函数y是递减的．∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的，∴2m－x≥×2m，∴0＜x≤.∵m为偶数，∴为整数．7\n又∵160＜2m＜630，∴80＜m＜315.(1)当0＜m－45≤，解得45＜m≤90，∴80＜m≤90时，x＝m－45时，y取最大值．(2)当m－45＞时，即90＜m＜315时，x＝时，y取得最大值．综上所述，当80＜m≤90时，应裁员(m－45)人；当90＜m＜315时，应裁员人，公司都能获得最大的经济效益．7
