课时作业(十一) 函数与方程一、选择题1．(2015·烟台模拟)已知函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )A．(1,2)B．(2,3)C．(1,2)或(2,3)都可以 D．不能确定答案：A解析：∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＝28＞0.∴f(1)·f(2)＜0，∴下一个有根区间在(1,2)内．故应选A.2．(2015·淄博五中质检)函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数为( )A．0B．1C．3D．2答案：D解析：转化为y＝log2x与y＝x－2两函数图象的交点的个数，作图象如图所示．因两函数的图象有两个交点，因此函数零点个数为2.故应选D.3．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－1)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c恰有两个不同的零点，则实数c的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪B.C.D．(－∞，－1)∪答案：A6\n解析：由x2－1≤x－x2，得－≤x≤1，∴f(x)＝函数f(x)的图象如图所示．由图象知，当c<－1或－<c<0时，函数y＝f(x)－c恰有两个不同的零点．故应选A.4．(2015·哈师大附中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是( )A．5B．7C．8D．10答案：C解析：依题意，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，如图所示．结合图象，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是8.故应选C.5．(2015·日照模拟)已知x0是函数f(x)＝＋lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2)>0答案：D解析：令f(x)＝＋lnx＝0，从而有lnx＝，此方程的解即为函数f(x)的零点，在同一坐标系中作出函数y＝lnx与y＝的图象，如图所示．6\n由图象易知，>lnx1，从而lnx1－<0，故lnx1＋<0，即f(x1)<0，同理，可得f(x2)>0.故应选D.6．已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是( )A．(0，π)B．(－π，π)C．(lgπ，1)D．(π，10)答案：D解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，若方程f(x)＝m有五个不等的实数根，则lgπ<m<1，不妨设x1<x2<x3<x4<x5，则x1＝－x4，x2＝－x3，π<x5<10，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x5∈(π，10)，故应选D.二、填空题7．(2015·山东实验中学模拟)已知函数f(x)＝则f(f(2))的值为________；函数g(x)＝f(x)－k恰有两个零点，则实数k的取值范围是________．答案：0 解析：f(f(2))＝f(1)＝0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得实数k的取值范围是.8．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝[a，b]⊆D(a＜b)，使得{y|y＝f(x)，6\nx∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的“等值区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝x3；③f(x)＝sinx；④f(x)＝log2x＋1.则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)答案：②④解析：问题等价于方程f(x)＝x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x＞x，故函数f(x)＝2x不存在等值区间；由于x3＝x有三个不相等的实根x1＝－1，x2＝0，x3＝1，故函数f(x)＝x3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sinx＝x只有唯一的实根x＝0，结合函数图象可知，函数f(x)＝sinx不存在等值区间；由于log2x＋1＝x有实根x1＝1，x2＝2，故函数f(x)＝log2x＋1存在等值区间[1,2]．9．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.答案：3解析：由已知，x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，∴a，b的可能取值为a＝1，b＝2或a＝2，b＝3，….又f(1)＝3＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)·f(2)<0，故a＝1，b＝2符合要求．又∵f(x)为增函数，当x取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，∴a＝1，b＝2.∴a＋b＝1＋2＝3.10．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数是________．答案：4解析：∵f(x＋3)＝f(x＋1)，∴函数f(x)的周期为2，在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象，如图所示，6\n易知两图象交点的个数为4.三、解答题11．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.12．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实数根，从而f(x)＝1必有实数根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得<a<.故a的取值范围是.13．(2015·郑州模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝6\nx2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．根据图象，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．6
