课时作业(五) 函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝xB．f(x)＝x3C．f(x)＝xD．f(x)＝3x答案：D解析：根据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．故应选D.2．(2015·烟台模拟)下列函数中，满足x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)答案：A解析：由题意可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，结合四个选项可知，A正确．故应选A.3．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．可能为0 B．恒大于0C．恒小于0 D．可正可负答案：C解析：由x1x2＜0，不妨设x1＜0，x2＞0.∵x1＋x2＜0，∴x1＜－x2＜0.由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＜0.故应选C.4．(2015·潍坊模拟)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为( )A．4B．5C．6D．7答案：C5\n解析：如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义，f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图实线部分．∴f(x)＝令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.故应选C.5．(2015·青岛模拟)定义运算＝ad－bc，若函数f(x)＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是( )A．(－2，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－2]答案：D解析：由定义知，f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，易知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)单调递增，由题意m≤－2，故应选D.二、填空题6．(2015·杭州模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.答案：－6解析：f(x)＝|2x＋a|＝作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为，∴－＝3，即a＝－6.7．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．答案：解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0<x<.8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.5\n答案：解析：当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a－1＝4，即a＝，最小值为a2＝m，从而m＝，故g(x)＝，即g(x)＝，在[0，＋∞)上是增函数．当a>1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a2＝4，解得a＝2，最小值a－1＝m，即m＝，这时g(x)＝(1－4m)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去．所以a＝.9．设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(mx)＋mf(x)<0恒成立的实数m称为函数f(x)的“伴随值”，则m的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)解析：由题意知，f(x)为增函数且m≠0.若m>0，由函数的单调性可知，f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．若m<0，则f(mx)＋mf(x)<0可化为mx－＋mx－<0，所以2mx－·<0，即1＋<2x2，因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋<2，即m2>1，解得m<－1.三、解答题10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M，m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．解：(1)由f(0)＝2，可知c＝2.又A＝{1,2}，故1和2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根，所以解得所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1.当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.(2)由题意，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根，∴即∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝－＝1－，5\n又a≥1，故1－∈.∴M＝f(－2)＝9a－2，m＝f＝1－，g(a)＝M＋m＝9a－－1，又g(a)在[1，＋∞)上单调递增，∴当a＝1时，g(a)min＝g(1)＝.11．(2015·湖北模拟)若非零函数f(x)对任意函数x，y均有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，且当x＜0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)＞0；(2)求证：f(x)为R上的减函数；(3)当f(4)＝时，对a∈[－1,1]时恒有f(x2－2ax＋2)≤，求实数x的取值范围．解：(1)证明：证法一：令y＝0，得f(0)·f(x)＝f(x)，即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.当x＜0时，f(x)＞1，－x＞0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则f(－x)＝∈(0,1)．故对于x∈R恒有f(x)＞0.证法二：f(x)＝f＝2≥0，∵f(x)为非零函数，∴f(x)＞0.(2)证明：令x1＞x2且x1，x2∈R，有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1＜0，即f(x2－x1)＞1，故＝f(x2－x1)＞1，又f(x)＞0，∴f(x2)＞f(x1)．故f(x)为R上的减函数．(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)，故f(2)＝，则原不等式可变形为f(x2－2ax＋2)≤f(2)，依题意有x2－2ax≥0对a∈[－1,1]恒成立．5\n∴解得x≥2或x≤－2或x＝0.故实数x的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．12．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上，a的取值范围为{a|0<a≤1}．5
