【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性及周期性课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·福建高考改编)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是________．①f(x)是偶函数；②f(x)是增函数；③f(x)是周期函数；④f(x)的值域为[－1，＋∞)．[解析] ①因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，①错误．②f(x)在(－2π，－π)上单调递减，②错误．③f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)不是周期函数③错误．④∵x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，④正确．[答案] ④2．(2014·课标全国卷Ⅰ改编)设f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，下列结论中正确的是________．①f(x)g(x)是偶函数；②f(x)|g(x)|是奇函数；③|f(x)|g(x)是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．[解析] f(x)是奇函数则|f(x)|是偶函数，g(x)是偶函数，|g(x)|是偶函数，偶(奇)函数之积是偶函数，偶函数和奇函数之积是奇函数，故②正确．[答案] ②3．函数y＝log2的图象关于________对称．[解析] 由＞0，得－1＜x＜1，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，∴函数y＝log2为奇函数，图象关于原点对称．[答案] 原点4．(2014·南京模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.4\n[解析] f(x)是周期为2的偶函数，且x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，∴f＝f＝f＝＋1＝.[答案] 5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．[解析] f(x)是定义在R上的奇函数，则隐含条件f(0)＝0，所以20＋b＝0，得b＝－1，故f(－1)＝－f(1)＝－[21＋2×1－1]＝－3.[答案] －36．如果偶函数f(x)在x∈(－∞，0]时，有f(x)＝x＋1，则f(x)＝________.[解析] 当x∈[0，＋∞)时，－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1，所以f(x)＝[答案] 7．已知偶函数f(x)在[0,2]上单调递减，若a＝f(－1)，b＝f，c＝f(lg0.5)，则a，b，c，之间的大小关系是________．[解析] 由于a＝f(－1)＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(－lg2)＝f(lg2)，又lg2<1<2，f(x)在[0,2]上单调递减，即有f(lg2)>f(1)>f(2)，故c>a>b.[答案] c>a>b8．(2014·无锡调研)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.[解析] 设x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx.又f(－x)＝－f(x)，∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.[答案] 0二、解答题9．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，求实数a的取值范围．[解] 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(0)＝0，∴函数f(x)在R上是增函数．4\n由f(3－a2)＞f(2a)，得3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.所以a的取值范围是(－3,1)10．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．[解] (1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值．(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.设x＞0，则－x＜0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，∴g(x)＝[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.[解析] ∵f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴ln(1＋e3x)＋ax＝ln(1＋e－3x)－ax，∴ln(1＋e－3x)－ln(1＋e3x)＝2ax，即ln＝2ax，∴＝e2ax，∴1＋e－3x＝e2ax＋e(2a＋3)x对x∈R恒成立，∴或(舍去)．∴a＝－.[答案] －2．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f，b＝4\nf，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．[解析] ∵a＝f＝f＝－f＝－lg，b＝f＝f＝－f＝－lg，c＝f＝f＝lg，∴b＞a＞c.[答案] b＞a＞c二、解答题3．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)求证f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数，还是减函数；(3)求函数的值域．[解] (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.所以f(x)＝根据二次函数图象的作图方法，可得函数的图象如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，在[－1,0)和[1,3]上为增函数．(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．4
