【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第11节导数在研究函数中的应用课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为________．[解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)2．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．[解析] 由已知f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)≤0得单调减区间为[－1,11]．[答案] [－1,11]3．(2014·苏州调研)函数y＝ex－lnx的值域为________．[解析] 函数的定义域为{x|x>0}，y′＝e－＝，令y′＝0得x＝，y＝f(x)在上为减函数，上为增函数，x＝时，ymin＝2，即y≥2.[答案] [2，＋∞)4．(2011·广东高考)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．[解析] 由已知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故当x＝2时f(x)取得极小值．[答案] 25．(2014·无锡市北高中检测)函数f(x)＝xlnx在区间[1，t＋1](t>0)上的最小值为________．[解析] f′(x)＝lnx＋1，当x≥1时，f′(x)>0，∴f(x)＝xlnx在区间[1，t＋1](t>0)是增函数．∴最小值为f(1)＝0.[答案] 06\n6．(2014·盐城期中检测)已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为________．[解析] f′(x)＝－1，令x＝1，f′(1)＝2f′(1)－1得f′(1)＝1，∴f(x)＝2lnx－x，f′(x)＝－1.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，∴f(x)的极大值为f(2)＝2ln2－2.[答案] 2ln2－27．(2013·浙江高考改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则下面四种说法正确的是________(填序号)．①当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值②当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值③当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值④当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值[解析] 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，所以f′(1)＝0，且当x＞1时，f′(x)＞0；在x＝1附近的左侧，f′(x)＜0，所以f(1)是极小值．[答案] ③8．(2014·山东高考改编)函数f(x)＝的定义域为________．[解析] 由题意知解得x>2或0<x<.[答案] ∪(2，＋∞)二、解答题6\n9．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解] (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．10．(2011·安徽高考)设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．[解] 对f(x)求导得f′(x)＝ex①(1)当a＝时，若f′(x)＝0则4x2－8x＋3＝0解得x1＝，x2＝又当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0得0<a≤1.6\n所以a的取值范围为{a|0<a≤1}．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·苏州模拟)若函数f(x)＝x2－lnx＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围________．[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝＝，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得0<x<，要使函数在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则有0≤k－1<<k＋1，解得1≤k<，即k的取值范围是.[答案] 2．已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.[解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，①当m≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－m＝4，∴m＝－4，舍去．②当m<0时，f(x)在(0，－m)上递减，在(－m，＋∞)上递增．ⅰ.当－m>e，即m<－e时，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，∴m＝－3e.ⅱ.当1≤－m≤e，即－e≤m≤－1时，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，∴m＝－e3，舍去．ⅲ.当－m<1，即m>－1时，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，∴m＝－4，舍去．[答案] －3e二、解答题3．(2014·连云港质检)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x6\n)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．则a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：x－－h′(x)＋0－0＋h(x)所以h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.当－≥－1，即0<a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2.当－<－1，且－≥－1，即2<a≤6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，6\n又因为h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－＝1.6
