【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第8节函数与方程课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·徐州模拟)设函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为________．[解析] 设y＝f(x)与y＝log4x，分别画出它们的图象，得3个交点．∴函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为3.[答案] 32．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．[解析] 由题意知，方程|x|＝m有两个根，即函数y＝|x|与y＝m有两个不同的交点．在同一坐标系中，画出函数y＝|x|与y＝m的图象．观察图象得，0＜m＜1.[答案] (0,1)3．(2014·泰州模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点个数为________．[解析] sgn(lnx)＝故函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点分别为e,1，.[答案] 34．(2014·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．[解析] 作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f6\n(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0<a<.[答案] 5．(2014·苏州模拟)若偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是________．[解析] 由f(0)·f(a)<0，且f(x)在[0，a](a>0)上单调，知f(x)＝0在[0，a]上有一根，又函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝0，在[－a,0]上也有一根．∴f(x)＝0在区间[－a，a]内有两个根．[答案] 26．(2014·泰州模拟)设函数f(x)＝n－1，x∈[n，n＋1)，n∈N，则方程f(x)＝log2x有________个根．[解析] 由f(x)＝n－1，x∈[n，n＋1)，得f(x)＝如图，y＝f(x)的图象与y＝log2x的图象有3个交点，方程f(x)＝log2x有3个根．[答案] 37．(2014·苏州调研)若方程lnx＋2x－6＝0的根为x0，则小于x0的最大整数是________．[解析] 令f(x)＝lnx＋2x－6(x＞0)，由于f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0.又f(x)在x∈(0，＋∞)时，是增函数且图象不间断．∴f(x)有唯一的零点x0∈(2,3)．6\n因此小于x0的最大整数是2.[答案] 28．(2014·无锡模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是________．[解析] 由题意知，直线y＝x与f(x)＝x2＋4x＋2(x≤m)有两个交点，由解得或因此m≥－1.直线y＝x与f(x)＝2(x>m)有一个交点，即(2,2)，此时m<2，综上知－1≤m<2.[答案] [－1,2)二、解答题9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值．[解] (1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．10．(2014·南京模拟)已知关于x的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，求实数a的值．[解] ∵方程有唯一解，由于相应函数为偶函数，知唯一解必为x＝0，∴2alog22＋a2－3＝0，∴a＝1或a＝－3.检验：①当a＝1时，x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，令x2＋2＝t≥2，则2log2t＝4－t(t≥2)，由图①可知，有一个交点，符合题意．6\n②当a＝－3时，x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即6log2(x2＋2)＝x2＋6，令x2＋2＝t≥2，则6log2t＝t＋4(t≥2)．由图②可知，有两个交点，不符题意，舍去．综上可知a＝1.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·镇江模拟)方程xlg(x＋2)＝1有________个不同的实数根．[解析] 由xlg(x＋2)＝1得，lg(x＋2)＝，在同一坐标系中，画出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示：由图象知，方程有两个不同的实根．[答案] 22．(2014·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx(k>0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)＝t2－6t＋7的值域为________．[解析] 作出f(x)的图象，如图所示．6\n当y＝kx与半圆(x－3)2＋y2＝1相切时，最大根t∈[x1，x2)，Rt△OA1B1中，OA1＝3，A1B1＝1，则OB1＝2.由三角形相似得Ox1＝.Rt△OA2B2中，OA2＝5，A2B2＝1，则OB2＝，则kOB2＝.由得x2满足方程x2－6x＋8＝0，则g(x2)＝x－6x2＋7＝－1，∵t∈，∴g(t)∈.[答案] 二、解答题3．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)的一个零点是1，且函数g(x)＝f(x)＋1也有零点．(1)证明：－3<c≤－1，且b≥0；(2)若m是函数g(x)的一个零点，试判断f(m－4)的正负并加以证明．[证明] (1)由f(1)＝0，得b＝－.又c<b<1，故c<－<1，∴－3<c<－.方程f(x)＋1＝0有实根，即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根．故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即c2－2c－3≥0.∴c≥3，或c≤－1.又－3<c<－，所以－3<c≤－1.又b＝－，∴b≥0.(2)∵f(x)＝x2＋2bx＋c＝(x－c)(x－1)，且m是函数g(x)＝f(x)＋1的一个零点，6\n∴f(m)＝－1<0，故c<m<1.∴c－4<m－4<－3<c.∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)>0，所以f(m－4)的符号为正．6
