【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，所以图③适合．[答案] ③2．(2013·陕西高考)在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为ym，则＝，图293即y＝40－x,形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．[答案] 208\n3．(2014·盐城质检)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为________元．[解析] 设水果的成本价为x元/斤，共有a斤，由题意知解得x＝1.3.则每千克水果应定价2.6元．[答案] 2.64．(2014·泰州调研)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图294，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差__图294[解析] 依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，∴两种方式电话费相差10元．[答案] 105．(2014·南通模拟)从盛满20L纯消毒液的容器中倒出1L，然后用水加满，再倒出1L，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．[解析] 所倒次数为1，则y＝19；所倒次数为2，则y＝19×，…，所倒次数为x，则y＝19x－1＝20x.[答案] y＝20x6．(2014·南京模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图295)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为______．图295[解析] 由三角形相似，得＝，得x＝(24－y)，8\n∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，∴当y＝12时，Smax＝180，此时x＝15.[答案] 15,127．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[解析] 由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lgA－lgA0＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，9＝lgx＋3,5＝lgy＋3，解得x＝106，y＝102.所以＝＝10000.[答案] 6 10000图2968．(2014·无锡模拟)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图296所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)________m.[解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)，设点A的坐标为(4，－h)，则C(3,3－h)，将这两点的坐标代入y＝ax2，可得解得所以厂门的高约为6.9m.[答案] 6.98\n二、解答题9．(2014·南通模拟)经市场调查，某商品在过去100天内的日销售量和销售价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N*)，前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N*)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N*)求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．[解] 当1≤t≤40，t∈N*时，S(t)＝g(t)f(t)＝＝－t2＋2t＋＝－(t－12)2＋，∴768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝；当41≤t≤100，t∈N*时，S(t)＝g(t)f(t)＝＝t2－36t＋＝(t－108)2－，∴8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.∴S(t)的最大值为，最小值为8.10．(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒，如图297所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．图2978\n(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，∴当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得，x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.∴当x＝20时，V′取得极大值，也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比为＝＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·福州模拟)如图298，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一颗树与两墙的距离分别是am(0<a<12)，4m，不考虑树的粗细．现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是________．图2988\n[解析] 设CD＝xm，则AD＝(16－x)m，由题意可知解得4<x<16－a，矩形花圃的面积S＝x(16－x)，其最大值f(a)＝故其图象为③.[答案] ③2．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图299所示的曲线．图299(1)第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)＝________.(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25μg时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是____________h.[解析] (1)设y＝当t＝1时，由y＝4得k＝4，8\n由1－a＝4得a＝3，则y＝(2)由y≥0.25得或解得≤t≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－＝(h)．[答案] (1) (2)二、解答题图29103．(2014·江苏苏州一模)如图2910，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求出最大体积．[解] (1)法一：如图，连接OC.设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.则AB＝2，其中0<x<30.所以S＝2x＝2≤x2＋(900－x2)＝900，当且仅当x2＝900－x2，即x＝15时，S取最大值为900cm2.法二：连接OC.设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S，则BC＝30sinθ，OB＝30cos8\nθ，其中0<θ<.所以S＝AB·BC＝2OB·BC＝900sin2θ.所以当sin2θ＝1，即θ＝时，S取最大值为900cm2，此时BC＝15.所以取BC为15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.(2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.由AB＝2＝2πr，得r＝，所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中0<x<30.令V′＝(900－3x2)＝0，解得x＝10，因此V＝(900x－x3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数．所以当x＝10时，V取最大值为cm3.8
