【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第4节二次函数与幂函数课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·南京模拟)若函数f(x)＝是奇函数，则满足f(x)>a的x的取值范围是________．[解析] 由f(x)是奇函数，得a＝－2.若x≥0，则由f(x)＝x2－2x>－2，得x≥0；若x<0，则由f(x)＝－x2－2x>－2，得－1－<x<0.综上得x>－1－.[答案] (－1－，＋∞)2．已知a>，且函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值为4，则实数a的值是________．[解析] 二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴x＝a位于区间[－1,2]的中点的右侧，所以f(x)在[－1,2]上的最大值为f(－1)＝1＋2a＋1＝4，即a＝1.[答案] 13．若幂函数的图象过点，则它的解析式为________．[解析] 设y＝xa将代入得a＝－2即y＝[答案] y＝4．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤2的解集是________．[解析] 由图表知，＝α，∴α＝，∴f(x)＝x，由|x|≤2，得－4≤x≤4.4\n[答案] [－4,4]5．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则实数a＝________.[解析] 由于函数的值域为[0，＋∞)，故Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，则2a2－a－3＝0.[答案] －1或6．已知P＝2，Q＝3，R＝3，则P、Q、R的大小关系是________．[解析] P＝2＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数且>>，得3>3>3，即P>R>Q.[答案] P>R>Q7．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2.则m的取值范围是________．[解析] y＝(x－1)2＋2，由x2－2x＋3＝3得x＝0或x＝2，∴1≤m≤2.[答案] [1,2]8．(2014·泰州模拟)当a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．[解析] f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴解得a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，解得a＝－1；当0<a≤1时，∴a不存在；当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴∴a不存在．综上可得a＝－1.[答案] －1二、解答题9．函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．[解] ①当a<0时，f(x)max＝f(0)令1－a＝2，∴a＝－1.②当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)，令f(a)＝2，无解．③当a>1时，f(x)max＝f(1)，即a＝2.综上可得a＝－1或a＝2.4\n10．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)的图象关于y轴对称，试求函数g(x)＝2x＋的最小值．[解] 由f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2＋m－2＜0，解之得－2＜m＜1，又m∈Z，∴m＝－1,0.此时，均有f(x)＝x－2，图象关于y轴对称．因此f(x)＝x－2(x≠0)，∴g(x)＝2x＋x2＝(x＋1)2－1(x≠0)，故函数g(x)的最小值为－1.[B级 能力提升练]一、填空题1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝__________.[解析] 设f(x)＝xn，则＝＝2n＝3，∴f＝n＝＝.[答案] 2．(2014·泰州质检)若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，则2x＋3y2的最小值为________．[解析] 由x＋2y＝1，得x＝1－2y，∴2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝32＋.由x≥0，y≥0，得0≤y≤.∴当y＝时，2x＋3y2取最小值.[答案] 二、解答题3．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)＞0.4\n(1)求证：－2＜＜－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．[解] (1)证明：当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0，与已知矛盾，故a≠0.∵f(0)f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0.即＜0，从而－2＜＜－1.(2)x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2＋4×＝·2＋＋＝2＋.∵－2＜＜－1，∴≤(x1－x2)2＜，∴≤|x1－x2|＜，即|x1－x2|的取值范围是.4
