专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )A.2 B.3C.4D.8解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.2.一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B 设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D 设圆M的半径为r，则|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(－4，0)为焦点的椭圆，且2a＝16，a＝8，c＝4，则b2＝a2－c2＝48，所以点M的轨迹方程为＋＝1.4.(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )A.B.\nC.D.解析：选B 由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.故选B.5.(2019·石家庄市模拟(一))已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析：选B ∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B.6.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A. B.C.2D.解析：选A 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，\n且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.二、填空题7.(2019·北京通州区三模改编)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与双曲线x2－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________.解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，双曲线x2－＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此×2p×＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为＝.答案：2 8.设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为________.解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，∴交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|＝，由△PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P有2个.答案：29.已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若·<0，则y0的取值范围是________.解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0).∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，\n即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.答案：－<y0<三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积.解：(1)由题意知，离心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由条件可知F1(－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝.11.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).\n(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.12.(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值.解：(1)由题意，得2b＝4，＝.又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2，c＝1.∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0).据题意，直线F1M的方程为y＝2(x＋1).记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2).∵F1M∥F2N，∴根据对称性，得N(－x2，－y2).\n联立得消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由题意知x1>x2，∴x1＝－，x2＝－，k1＝＝＝，k2＝＝＝－，∴3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值为0.B组——大题专攻强化练1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0).由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得2k＋1＝0，解得k＝－.所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.\n2.在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，所以得由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2.此时直线l的方程为y＝±x＋1.3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若x轴上的一点E满足|AE|＝|BE|，试求出点E的横坐标的取值范围.\n解：(1)由已知得＝，2c＝2，所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝8.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G(x0，y0).设点E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，则EG⊥AB.由得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，x1＋x2＝－，所以x0＝，y0＝kx0＋2＝，因为EG⊥AB，所以kEG＝－，即＝－，所以m＝＝，当k>0时，9k＋≥2＝12，所以－≤m<0；当k<0时，9k＋≤－12，所以0<m≤.综上所述，点E的横坐标的取值范围为∪.4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.解：(1)由已知|AB|＝|BF|，得＝a，即4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，所以e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，\n所以椭圆C的方程可化为＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1，可得＋＝0，即＋＝0，即＋(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2，所以直线l的方程为y－＝2，即2x－y＋2＝0.联立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0.则Δ＝322＋16×17×(b2－4)>0⇔b>，x1＋x2＝－，x1x2＝.因为OP⊥OQ，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，从而－＋4＝0，解得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0，椭圆C的方程为＋y2＝1.
