专题检测（六）三角函数的图象与性质A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·合肥市第一次质检)已知cosα－sinα＝，则cos＝( )A.－ B.－C.D.解析：选C 由cosα－sinα＝，得1－sin2α＝，所以sin2α＝，所以cos＝sin2α＝，故选C.2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1，则( )A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin＋2，则f(x)的最小正周期为＝π，最大值为2＋2＝4.故选B.3.(2019·四川攀枝花模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，现将此图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )A.g(x)＝2sin2xB.g(x)＝2sinC.g(x)＝2sin\nD.g(x)＝2sin解析：选D 根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝－，∴函数f(x)＝2sin＝2sin2.把f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝2sin2＝2sin的图象，故选D.4.(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为( )A.B.C.D.解析：选A 函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝cos，由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以当k＝0时函数的一个单调递增区间是，所以m的最大值为.故选A.5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③解析：选C ①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确.\n②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误.③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误.④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确.综上，①④正确.故选C.6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝，则( )A.f(x)在上是减函数B.f(x)在上是增函数C.f(x)在上是减函数D.f(x)在上是增函数解析：选B 由题图可知A＝2，则f(x)＝2sin(2x＋θ).因为f(a)＝f(b)＝0，所以f＝2，则sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝＋2kπ，k∈Z.由f(a＋b)＝得sin[2(a＋b)＋θ]＝，2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，或2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋2kπ或θ＝＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜，所以θ＝，f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，\n所以f(x)在上是增函数.当x∈时，2x＋∈(π，2π)，所以f(x)在上先减后增.故选B.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________.解析：∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1，1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－48.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是________.解析：由三角函数的定义知cosα＝a，sinα＝b，∴cosα＋sinα＝a＋b＝，∴(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝，∴sin2α＝－1＝，∴cos＝－sin2α＝－.答案：－9.已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2，4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________.解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.\n又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.由x∈，得x－∈，∴sin∈，即f(x)在区间上的值域为.答案： 三、解答题10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin2x－cos2x的图象经过怎样的平移变换得到.解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)y＝sin2x－cos2x＝2sin＝2sin，故将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象.11.已知m＝，n＝(cosx，1).(1)若m∥n，求tanx的值；\n(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间.解：(1)由m∥n得，sin－cosx＝0，展开变形可得，sinx＝cosx，即tanx＝.(2)f(x)＝m·n＝sincosx＋1＝sinxcosx－cos2x＋1＝sin2x－＋1＝＋＝sin＋，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.12.已知函数f(x)＝cosx(2sinx＋cosx)－sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围.解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，\n且最大值为f＝2.从而可得m≤2.所以实数m的取值范围为(－∞，2].B组——大题专攻强化练1.已知函数f(x)＝sin24x＋sin4xcos4x.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间上的最值.解：(1)f(x)＝sin24x＋sin4xcos4x＝×＋sin8x＝sin8x－cos8x＋＝sin＋.令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).(2)由(1)得f(x)＝sin＋.因为x∈，所以∈.故sin∈.所以－1＋≤sin＋≤，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1＋.2.已知向量m＝(2sinωx，sinωx)，n＝(cosωx，－2sinωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1)因为向量m＝(2sinωx，sinωx)，n＝(cosωx，－2sinωx)(ω>0)，所以函数f(x)＝m·n＋＝2sinωxcosωx＋sinωx(－2sinωx)＋＝sin2ωx－2sin2ωx＋＝sin2ω\nx＋cos2ωx＝2sin.因为直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为×2＝π，即＝π，得ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).3.已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象.解：(1)f(x)＝sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin＋1.∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.\n(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：x＋－－0πx－π－－πf(x)0－11310则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示.4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围.解：(1)由题意，T＝2×＝π，故ω＝＝2，所以sin＝sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.(2)画出该函数的图象如图，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直\n线x＝对称，所以x1＋x2＝，π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<，故x1＋x2＋x3的取值范围为.
