专题检测（十九）函数的图象与性质A组——“12＋4”满分练一、选择题1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝( )A．4 B.3C．2D.1解析：选A 因为f(x)＝所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.故选A.2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝B.y＝－x2＋1C．y＝2xD.y＝log2|x|解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．已知函数f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝( )A．1或B.或C．2或D.1或解析：选B 由已知条件可知f(g(1))＝f(2－a)＝4|2－a|＝2，所以|a－2|＝，得a＝或.故选B.4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B.e－x＋1C．－e－x－1D.－e－x＋1解析：选D 当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.5．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y＝的图象大致为( )\n解析：选C 因为函数y＝为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x>0时，y＝＝，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B、D；又当x＝1时，y＝<1，所以排除选项A.故选C.6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )A．－B.－C．－1D.－2解析：选C 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.故选C.7．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.8．(2019·武汉市调研测试)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B.(0，1)C．(1，2)D.(1，2]解析：选D 依题意，解得1<a≤2，故实数a的取值范围为(1，2]．故选D.9．(2019·湖南省五市十校联考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x\n的取值范围是( )A．(－2，＋∞)B.(－1，＋∞)C．(2，＋∞)D.(3，＋∞)解析：选B 由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)>－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1.故选B.10．(2019·洛阳市统考)已知函数f(x)＝若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是( )A．[－2，1]B．[－1，2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选A 因为f(x)＝在区间(－∞，＋∞)上单调递减，所以不等式f(a－1)≥f(－a2＋1)同解于不等式a－1≤－a2＋1，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，故选A.11.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A、B、C.故选D.12．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值\nD．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．故选C.二、填空题13．已知函数f(x)在(－1，1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范围是________．解析：由已知得f(3x－2)<f(x－1)，∴.答案：14．(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y＝lnx＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)15．设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a>0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为________．解析：法一：因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.法二：因为f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.\n答案：－116．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(19)＋f(20)＝________．解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，F＝f，所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(19)＝f(1)＝－1，f(20)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，所以f(19)＋f(20)＝－2.答案：－2B组——“5＋3”提速练1．设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )A．[－1，2) B.[－1，0]C．[1，2]D.[1，＋∞)解析：选C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，∴即∴∴1≤a≤2.故选C.法二：当a＝0时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；当a＝3时，函数f(x)无最小值，排除选项D.故选C.2．定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有<1，且函数y＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是( )A．(－2，0)∪(0，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，2)D．(－2，0)∪(2，＋∞)解析：选C 由<1，\n可得<0.令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，令F(x)>0，得x<－2或0<x<2.故选C.3．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是( )A．{a|－2<a<－1}B.{a|－2≤a<－1}C．{a|－2≤a<2}D.{a|a≥－2}解析：选B 根据题意可知f(x)＝不等式f(x)≥x2－x－a等价于a≥x2－x－f(x)，令g(x)＝x2－x－f(x)＝作出g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a<－1，即实数a的取值范围是{a|－2≤a<－1}．故选B.4．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝点A，B是函数f(x)图象上不同的两点，则∠AOB(O为坐标原点)的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选A 由题意知，当x<0时，y＝f(x)＝，可得y2－x2＝1(x<0，y>0)，此时对应的曲线为双曲线的一部分，渐近线为y＝－x，若B在双曲线上，则∠BOy的范围是0<∠BOy<，当x≥0时，f(x)＝x2＋1，过原点的直线和f(x)的图象相切时，设切点为，因为f′(x)＝x，所以切线的斜率k＝f′(a)＝a，则对应的切线方程为y－＝a(x－a)，即y＝a(x－a)＋a2＋1，∵切线过原点，∴－a2＋a2＋1＝0，得a＝，此时切线的斜率k＝，倾斜角为，则∠AOy的最大值为－＝，即0≤∠AOy≤，则0<∠AOy＋∠BOy<＋＝，\n即0<∠AOB<，所以∠AOB的取值范围是.故选A.5．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.关于函数f(x)＝x★，有如下说法：①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)为奇函数；④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；⑤函数f(x)不是周期函数．其中正确说法的个数为( )A．1B.2C．3D.4解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的个数为3.故选C.6．已知函数f(x)的图象关于点(－3，2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)\n7．(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)<f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减，又f(2m－x)<f(x＋m)在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2m－x>x＋m，即2x<m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)<m，解得m<－2.答案：(－∞，－2)8．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1，0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(5)＝0；②f(x)在[1，2]上是减函数；③函数f(x)没有最小值；④函数f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是________．解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1，0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④
