第2讲 圆锥曲线的方程与性质高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )A.2B.3C.6D.9解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6.故选C.答案 C2.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )A.B.C.(1，0)D.(2，0)解析 将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为.故选B.答案 B3.(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B.3C.D.2解析 法一 由题知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，\n如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.故选B.法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.故选B.答案 B4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)或＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.\n设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).\n(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝＝.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝( )A.B.C.D.(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 (1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故点P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)①，由于y＝3②，联立①②，得x2＝，y2＝，故|OP|＝＝.(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.\n由椭圆定义，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝|F1A|＝a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，依题意，＝2，得B.由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.答案 (1)D (2)B探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.x2－＝1C.－y2＝1D.x2－y2＝1(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0，6)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A，B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA＝，则此抛物线的方程为________.解析 (1)由y2＝4x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x＋＝1.易知－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0.由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.故双曲线C的方程为x2－y2＝1.(2)如图所示，过M点作CM⊥AF，垂足为C，交准线于D，\n∴sin∠MFA＝＝.由抛物线定义|MF|＝|MD|＝x0＋，∴＝＝，得x0＝3p.∵点M(x0，6)是抛物线上一点，∴(6)2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x.答案 (1)D (2)y2＝12x热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.解析 (1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝，则yB＝.因为AB的斜率为3，所以＝3，则b2＝3ac－3a2.所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a.所以C的离心率e＝＝2.\n(2)因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c.所以双曲线的离心率e＝＝2.答案 (1)2 (2)2探究提高 1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由y＝得yB＝±；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】(1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是( )\nA.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为B.若椭圆Ω的离心率为，则＝C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A.双曲线C的离心率为B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为D.|PF|的最小值为2解析 (1)若a＝2b，则c＝b，所以e＝，A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是·＝＝＝－，D正确.故选BCD.(2)对于A，因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以双曲线C的离心率为，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝x上，则直线PF的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，由解得所以点P，所以△PFO的面积S＝××＝，所以C正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为，所以D错误.故选ABC.\n答案 (1)BCD (2)ABC热点三 有关弦的中点、弦长问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，即t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2.①由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2.②由①②联立，得y1＝3，且y2＝－1.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝＝.探究提高 1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.\n【训练3】(2020·衡水质检)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.(1)若△F1AB的面积为，求直线l的方程；(2)若＝2，求|AB|.解 (1)当直线l斜率为0时，不满足题意.当直线l斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆C的方程消去x，得(5m2＋6)y2＋10my－25＝0，Δ＞0⇒m∈R，由根与系数的关系得y1＋y2＝，①y1y2＝，②则S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2＝＝.整理得50m4－m2－49＝0，解得m2＝1或m2＝－(舍去)，故直线l的方程为x±y－1＝0.(2)若＝2，则(1－x2，－y2)＝2(x1－1，y1)，所以y2＝－2y1.代入上式①②得y1＝，2y＝，消去y1，得2＝，解得m＝±，所以|AB|＝|y1－y2|＝|y1－y2|＝3|y1|＝3×＝.热点四 与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题【例4】(2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；\n(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值.解 (1)由椭圆过点A(－2，－1)，得＋＝1.又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2，∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.设直线l：y＝k(x＋4)，由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.由Δ＞0，得－＜k＜.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)，令x＝－4，得yP＝－1.将y1＝k(x1＋4)代入，得yP＝.同理yQ＝.∴yP＋yQ＝－(2k＋1)＝－(2k＋1)·＝－(2k＋1)·＝－(2k＋1)·＝0.∴|PB|＝|BQ|，∴＝1.探究提高 1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.\n【训练4】(2020·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.解 (1)由已知得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.由a2＝b2＋c2，得a2＝18.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx－3.联立消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为.由3＝，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率kCP＝＝.又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.\n所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.A级 巩固提升一、选择题1.(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP解析 如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.答案 B2.(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是( )A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析 对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.答案 ACD\n3.(多选题)(2020·青岛一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )A.p＝4B.＝C.|BD|＝2|BF|D.|BF|＝4解析 如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选ABC.答案 ABC4.(2020·东北三省三校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有·＝0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为( )A.B.C.2D.解析 因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①\n在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.答案 A5.(2020·成都诊断)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.B.C.D.解析 依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°＝，则≥，即b≥c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝＝≤＝.故椭圆离心率的取值范围为.答案 B二、填空题6.(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.解析 由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝.\n答案 (3，0) 7.(2020·全国Ⅲ卷改编)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.解析 法一 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝＝，从而a＝1.法二 由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，又e2＝＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.答案 18.设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.解析 不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).答案 (3，)三、解答题9.(2020·湖北重点中学联考)定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的方程；\n(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.解 (1)依题意，设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得＝，即a2＝4b2.所以椭圆C2的方程为＋＝1(b＞0).(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，由消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①则x0＝＝，y0＝.由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得t＝－，则直线MN的方程为y＝－x－，将t＝－代入①式，解得b＞.所以实数b的取值范围是.10.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明 设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.\n所以直线AB过定点.(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.B级 能力突破11.(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.C.2D.解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.\n答案 A12.(2020·郑州调研)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的离心率e＝，∴＝，∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，将点代入椭圆的方程得＋＝1，联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，∴圆F的半径为，圆心为(，0)，∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.(2)由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).|CF|＝＝2－x1，同理|DF|＝2－x2.\n若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，4－(x1＋x2)＝1，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，∴x1＋x2＝，∴4－＝1，得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.
