专题检测（十九）基本初等函数、函数与方程A组——“12＋4”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞) B.C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D 设f(x)＝xa，则2a＝，所以a＝－2，所以f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a解析：选B 由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.3.函数f(x)＝－|x|－＋3的零点所在区间为( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析：选B 函数f(x)＝－|x|－＋3是单调减函数，因为f(1)＝1＞0，f(2)＝1－＜0，所以f(1)f(2)＜0，可知函数f(x)＝－|x|－＋3的零点所在区间为(1，2).4.(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )解析：选B 水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5.若函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝( )A.1B.2\nC.3D.4解析：选C ∵当a>1时，函数y＝在[0，1]上单调递减，∴＝1且＝0，解得a＝2；当0<a<1时，函数y＝在[0，1]上单调递增，∴＝0且＝1，此时无解.∴a＝2，因此loga＋loga＝log2＝log28＝3.故选C.6.若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )A.f(x)＝ex＋1B.f(x)＝ex－1C.f(x)＝e－x＋1D.f(x)＝e－x－1解析：选D 与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e－x的图象，∴f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：x(月份)12345Q(x)(台)691086根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是( )A.Q(x)＝ax＋b(a≠0)B.Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C.Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D.Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)解析：选C 观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.8.已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )A.(－∞，＋∞)上的减函数B.(－∞，＋∞)上的增函数C.(－1，1)上的减函数\nD.(－1，1)上的增函数解析：选D 由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg＝lg，令>0，则－1<x<1，排除A、B，又y＝－1在(－1，1)上是增函数，∴f(x)在(－1，1)上是增函数.选D.9.设函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )解析：选A 由题意可知a2－k－1＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)＝loga(x＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1，0)，故选A.10.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析：选C 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意.当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为[－1，＋∞).故选C.11.(2019·贵阳市第一学期监测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.5)，则a，b，c的大小关系是( )A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析：选D 由题意，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝f(－log25)＝f(log25)，因为log25＞log24.1＞2＞20.5＞0，所以f(log25)＞\nf(log24.1)＞f(20.5)，即c＜b＜a，故选D.12.(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)＜f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.(－∞，－2)C.(－2，2)D.(－∞，0)解析：选B 易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减，又f(2m－x)＜f(x＋m)在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2m－x＞x＋m，即2x＜m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)＜m，解得m＜－2，故选B.二、填空题13.(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________.解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.答案：14.(2019·河北模拟调研改编)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a＞0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________.解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a＞0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a＞1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0＜a＜1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).答案： [－1，＋∞)15.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，\n这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元.解析：设利润为y元，租金定为3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元.则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50＝204800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润.答案：330016.已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是2，则m的取值范围是________.解析：f(x)＝作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在[－1，m]上的最大值为2，又f(－1)＝f(4)＝2，所以－1<m≤4，即m∈(－1，4].答案：(－1，4]B组——“5＋3”提速练1.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的零点个数为( )A.2 B.3C.4D.5解析：选D 因为f(x)为奇函数，所以x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图\n共有5个交点，所以F(x)有5个零点.2.已知函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，且a≠1)，当x∈时，恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是( )A.B.(0，＋∞)C.D.解析：选A 当x∈时，2x2＋x∈(0，1)，因为当x∈时，恒有f(x)>0，所以0<a<1，由2x2＋x>0得x>0或x<－.又2x2＋x＝2－，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为.3.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上(P，B点除外)的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的大致图象是( )解析：选D 法一：如图，过点M作MT∥PA交AB于点T，过点M作MN∥BC交PC于点N，过点N作NS∥PD交CD于点S，连接TS，则平面MTSN∥平面PAD，所以y＝S四边形MTSN.由PA⊥平面ABCD，可得MT⊥平面ABCD，所以平面α与平面PAD之间的距离x＝AT，且四边形MTSN为直角梯形.由MT∥PA，MN∥BC，得＝，＝，所以MT＝×4＝2(2－x)，MN＝×2＝x，所以y＝S四边形MTSN＝·(MN＋ST)＝(2－x)(x＋2)＝4－x2(0＜x＜2).故选D.法二：设M，N，S，T分别为棱PB，PC，CD，AB的中点，连接MN，NS，ST，MT，则易知四边形MTSN为直角梯形.易证CD⊥平面PAD，平面MTSN∥平面PAD，所以此时x＝1，y＝(MN＋ST)×MT＝×(1＋2)×2＝3，即函数y＝f(x)的图象过点(1，3)，排除A\n、C；又当x→0时，y→S△PAD＝×2×4＝4，所以排除B.故选D.4.(2019·河北省九校第二次联考)若函数f(x)＝kx－|x－e－x|有两个正实数零点，则k的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.C.(0，1)D.(0，e)解析：选C 令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，当x＞0时，k＝＝，令g(x)＝1－，x＞0，则g′(x)＝＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g＝1－＜0，g(1)＝1－＞0，所以在上存在一个a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的图象如图所示.由题意知，直线y＝k与y＝|g(x)|的图象有两个交点，所以0＜k＜1，故选C.5.已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是( )A.(1，2019)B.(1，2020)C.[2，2020]D.(2，2020)解析：选D 法一：由于函数y＝sinπx的周期为2，0≤x≤1，故它的图象关于直线x＝对称.不妨设0＜a＜b＜c，则a＋b＝1，c＞1，故有a＋b＋c＞2，再由正弦函数的定义域和值域可得f(a)＝f(b)＝f(c)∈[0，1]，故有0≤log2019c＜1，解得c＜2019.综上可得，2＜a＋b＋c＜2020，故选D.法二：作出函数f(x)的图象与直线y＝m，如图所示，不妨设a＜b＜c，当0≤x≤1时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2019x＝1，解得x＝2019.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a，b，c互不相等，由a＜b＜c可得1＜c＜2019，因此可得2＜a＋b＋c＜2020，即a＋b＋c∈(2，2020).故选D.6.已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝则不等式log2x－[log(4x)－1]·f(log3x＋1)≤5的解集为________.\n解析：原不等式等价于或解得1≤x≤4或＜x＜1，所以原不等式的解集为.答案：7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logx＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________.解析：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，由已知得解得所以f(x)＝x＋，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①8.(2019·吉林长春四校5月联考)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为________.解析：因为g(x)－h(x)＝2x，①所以g(－x)－h(－x)＝2－x.\n又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，②联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤＝＝1－.因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1，1]时，＝1－＝，所以m≤，即实数m的最大值为.答案：
