专题检测（十六）圆锥曲线的定义、方程与性质A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019·济南模拟)已知双曲线－＝1的一个焦点F的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B.y＝±xC．y＝±xD.y＝±x解析：选A 易知c＝5，故m＝16，故双曲线方程为－＝1，将1换为0得－＝0，即渐近线方程为y＝±x.故选A.2．已知抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )A.＋2B.＋1C.－2D.－1解析：选D 抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，则d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝＝，所以d1＋d2的最小值是－1.故选D.3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )A.B.C.2D.3解析：选A 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.故选A.4．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.\nC．2D.解析：选A 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.5．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )A.B.C.D.3解析：选A 如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.6．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若＝3，则k＝( )A.1B.2C.D.解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝t，所以＋＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝.故选D.二、填空题7．已知P(1，)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是________．\n解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则＝，所以离心率e＝＝＝＝2.答案：28．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，解得|AF1|＝.∴△AF1F2的面积S＝×2××＝.答案：9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且＝3，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p＝________．解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1⊥l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，|EF|＝p.设|BD|＝m，|BF|＝n，则＝＝＝，即＝，∴m＝2n.又＝，∴＝＝，∴n＝，∴|DF|＝m＋n＝2p，∴∠ADA1＝30°.又|AA1|＝3n＝2p，|EF|＝p，∴|A1D|＝2p，|ED|＝p，∴|A1E|＝p，∴直角梯形AA1EF的面积为(2p＋p)·p＝6，解得p＝2.答案：2三、解答题10．(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的\n短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，进而直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.所以，直线PB的斜率为或－.11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p.又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1.\n∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，由消去y得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中A，B.∴M，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，即y＝，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解：(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.\n由b2＝a2－c2，得b2＝3.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－.因此B.又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.\n因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1，0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.B组——大题专攻强化练1．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2，1)，且右焦点F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝·，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1，a2>3.又椭圆过点M(－2，1)，∴＋＝1，又a2>3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，∵点N(1，0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴则t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5,③将①②代入③得，\nt＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，∴t1＋t2＝.2．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．解：法一：(1)设P(x，y)，依题意x>0，F(1，0)．因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|－1.依题意得|PF|－1＝x，即－1＝x，化简得E的方程为y2＝4x(x>0)．(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，舍去．当直线AB的斜率存在时，如图，在平面直角坐标系中，设N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.因为Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝，所以y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1)＝，故D.由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝.设M(xM，yM)，依题意得yM＝，\n所以|MD|＝－xM.又|MD|＝，所以－xM＝＋2，解得xM＝－1，所以M.因为N在抛物线上，所以x0＝，即N，所以S△AMB＝|MD||y1－y2|＝|y1－y2|，S△AMN＝|MN||y1－yD|＝|MN|×|y1－y2|＝|y1－y2|.故S△AMB＝4S△AMN.法二：(1)设P(x，y)，依题意x>0.因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|－1.依题意得，点P到F(1，0)的距离|PF|等于P到直线x＝－1的距离．所以P在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，所以E的方程为y2＝4x(x>0)．(2)证明：如图，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线AB过F(1，0)，依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．由得y2－4ty－4＝0.因为Δ＝16t2＋16>0，所以y1＋y2＝4t.所以x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2.因为D是AB的中点，所以D(2t2＋1，2t)．由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝4t2＋4.设与圆D相切于M，且平行于y轴的直线为l：x＝m，因为DM与抛物线相交于N，所以m<0，且DM⊥l，又|DM|＝|AB|，所以2t2＋1－m＝(4t2＋4)，解得m＝－1.设N(x0，y0)，则y0＝2t，所以(2t)2＝4x0，所以x0＝t2，因为＝t2，所以N为DM的中点，所以S△AMD＝2S△AMN.\n又D为AB的中点，所以S△AMB＝2S△AMD，所以S△AMB＝4S△AMN.
