专题检测（十六）圆锥曲线中的定值、定点、证明问题大题专攻强化练x211．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切22线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点．50，(2)若以E2为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．1t，－解：(1)证明：设D2，A(x21，y1)，则x1＝2y1.1y1＋由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故2＝x1.x1－t整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.10，所以直线AB过定点2.1(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.21y＝tx＋，22由x2可得x－2tx－1＝0.y＝2于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.21t，t＋设M为线段AB的中点，则M2.―→―→―→―→由于EM⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.52―→y－当t＝0时，|EM|＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；52―→y－当t＝±1时，|EM|＝2，所求圆的方程为x2＋2＝2.x2y232．(2019·济南市学习质量评估)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为a2b2231，－F，且该椭圆过点2.(1)求椭圆C的方程；\n43(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直3角三角形．解：(1)由题意得c＝3，1＋3＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭圆C的方a2a24b2x2程为＋y2＝1.4(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，y＝kx＋m，设l：y＝kx＋m，联立得x2＋y2＝1，4得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.－8km－8km4k－4k21设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即2（4k2＋1）2m2mmm4k1－，Amm.4343，k＋m易得B33，F(3，0)，4k1343―→－－3，―→，k＋m则FA＝mm，FB＝33，4k43―→―→3－－31k＋m43k43kFA·FB＝m＋3＝－－1＋＋1＝0，3m3m3m―→―→所以FA⊥FB，即△FAB为直角三角形，得证．3.如图，设点A，B的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP，BP2相交于点P，且它们的斜率之积为－.3(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，yy2kAP·kBP＝·＝－(x≠±3)，x＋3x－33x2y2化简得，点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．32(2)证明：由题意可知，M，N是轨迹C上不同的两点，且AP∥OM，BP∥ON，\n2则直线OM，ON的斜率必存在且不为0，kOM·kON＝kAP·kBP＝－.3y220＝，6x230|x0|＝，2①当直线MN的斜率为0时，设M(x0，y0)，N(－x0，y0)，则x2y2得00＋＝1，|y0|＝1，3216所以S△MON＝|y0||2x0|＝.22x2y2②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x＝my＋t，代入＋＝1，32得(3＋2m2)y2＋4mty＋2t2－6＝0，(*)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1，y2是方程(*)的两根，4mt2t2－6所以y1＋y2＝－，y1y2＝，3＋2m23＋2m2y1y2y1y2又kOM·kON＝＝x1x2m2y1y2＋mt（y1＋y2）＋t22t2－6＝，3t2－6m22t2－62所以＝－，即2t2＝2m2＋3，满足Δ>0.3t2－6m23|t|－24t2＋48m2＋721又S△MON＝|t||y1－y2|＝，22（3＋2m2）26t26所以S△MON＝＝.4t226综上，△MON的面积为定值，且定值为.24．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C2221：x＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)＋y＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；―→(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN―→―→＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．p解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，2因为直线l1与圆C2相切，p|－1＋|p2所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝2.212＋（－1）2\np|－1＋|2即＝2，解得p＝6或p＝－2(舍去)．2所以p＝6.(2)法一：依题意设M(m，－3)，x2x由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，126x1设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，61所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.6121令x＝0，则y＝－x1＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，66―→所以MA＝(x1－m，y1＋3)，―→MB＝(－m，－y1＋3)，―→―→―→所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，―→―→―→所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，①12x1，x11设l22的斜率为k，A12，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x1，②1212k（x－x1）＋x1联立①②得，x2＝1212，22x1因为Δ＝144k－48kx1＋4x1＝0，所以k＝，6112所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x1.612120，－x1令x＝0，得B点坐标为12，12―→x1－m，x1＋3所以MA＝12，12―→－m，－x1＋3MB＝12，―→―→―→所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，\n―→―→―→所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)，所以点N在定直线y＝3上．
