专题检测（二十三）坐标系与参数方程大题专攻强化练1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，)，于是直线CD的斜率k＝＝.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tant＝，t＝，所以切点的直角坐标为，即(2＋，1)．2．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知\n若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，直线θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.(1)若＜β＜，求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)当β＝时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．解：(1)证明：依题意，|OA|＝|4sinβ|，|OB|＝，|OC|＝，∵＜β＜，∴|OB|＋|OC|＝4sin＋4sin＝4sinβ＝|OA|.(2)当β＝时，直线θ＝β＋与曲线E的交点B的极坐标为，直线θ＝β－与曲线E的交点C的极坐标为，从而，B，C两点的直角坐标分别为B(，1)，C(0，4)，∴直线l的方程为y＝－x＋4，∴y0＝1，α＝.4．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ1，φ)，B，C(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M上．(1)求证：ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC\n的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cosφ，ρ2＝2cos，ρ3＝2cos，则ρ2＋ρ3＝2cos＋2cos＝2cosφ＝ρ1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，∴在平面直角坐标中，B，C(2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝.∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2·sin＋ρ1ρ3sin＝.5．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M(－2，－4)，所以直线l的参数方程是(t是参数)．因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，所以ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.(2)把直线的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t1，t2为方程t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0的两根，则t1＋t2＝，t1t2＝，根据直线参数方程的几何意义知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，故α＝或α＝，又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α＞0，所以α＝.6．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos\n.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解：(1)由ρ＝cos，得ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2－x＋y＝0，即圆C的直角坐标方程为＋＝.(2)设l上任意一点P(t，t＋2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，∵圆C的圆心为C，半径r＝，∴|PQ|＝＝＝≥2，即切线长的最小值为2.7．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求＋的取值范围．解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.(2)法一：把θ＝代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0，∴＋＝＋＝＝.∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，∴＋∈(2，＋∞)．\n法二：射线l的参数方程为(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，令Δ＝4－4(4－r2)＞0结合0＜r＜2，得3＜r2＜4，方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1＞0，t2＞0，∴＋＝＋＝＝.∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，∴＋∈(2，＋∞)．8．(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．解：(1)根据消参可得曲线C1的普通方程为x－2y－5＝0，∵ρ2＝，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，将代入可得：x2＋4y2＝4.故曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)曲线C2：＋y2＝1，经过伸缩变换得到曲线C3的方程为＋y′2＝1，∴曲线C3的方程为＋y2＝1.设M(4cosα，sinα)，根据点到直线的距离公式可得点M到曲线C1的距离d＝＝＝≤＝2＋(其中tanφ＝2)，∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋.\n
