10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)基础巩固强化1.已知X的分布列为X－101Pa设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是( )A．－ B.C．1D.[答案] B[解析] 由分布列的性质知：＋＋a＝1，∴a＝，由期望的定义知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.由期望的性质知，E(Y)＝2E(X)＋1＝.2．已知随机变量X的概率分布如下表所示：X135P0.40.1x则X的方差为( )A．3.56B．8.12C．3.2D.[答案] A[分析] 先由离散型随机变量分布列的性质求出x，再依据期望、方差的定义求解．[解析] 由0.4＋0.1＋x＝1得x＝0.5，∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.3．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝( )A．0.5B．0.8C．0.2D．0.4[答案] D[解析] ∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p10\n)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.4．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于( )A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)[答案] D[解析] X服从两点分布，故D(X)＝p(1－p)．5．(2011·浙江温州模拟)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C·()2·，三次全部击中目标的概率是P2＝C·()3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C·()2·＋C·()3＝.6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100B．200C．300D．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.7．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.[答案] 0[解析] ∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，10\n又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，∴E(pξ－D(ξ))＝E(ξ－2)＝E(ξ)－2＝0.8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案] [解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3，设从乙罐中取出白球的事件为B，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，所求概率P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝×＋×＋×＝.9．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X的均值为________．[答案] [解析] 依题意，X的可能取值为2、3、4，P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝，∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝.10.10\n(2012·江西理，18)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．[分析] (1)从6个不同的点中随机选取3个点，共有C种方法，选取的3个点与原点共面时，3个点必须在同一个坐标平面内．因为每条坐标轴上有两个点，所以同一坐标平面内有4个点，从这4个点中任取3个即可；(2)先求出V的各种可能取值，然后求其概率．[解析] (1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个面内的取法有3C＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.(2)V的所有可能取值为0、、、、，因此V的分布列为V0P由V的分布列得E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.[点评] 本题以立体图形为载体，考查概率知识及分布列、期望的求法，立意新颖，第1问易于解决，第2问中要对各种体积情况进行逐一运算，以防遗漏，难度中等．能力拓展提升11.(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )A．(0，)B．(，1)C．(0，)D．(，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，10\n解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈(0，)，故应选C.12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( )A. B. C. D.[答案] A[解析] ∵对称轴在y轴左侧，∴－<0，∴ab>0，即a与b同号，∴满足条件的抛物线有2CCC＝126条．ξ的取值为0、1、2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.13．一批产品的次品率为0.01，现连续抽取20次，抽得次品数为ξ，则D(ξ)＝________.[答案] 0.198[解析] ∵ξ～B(20,0.01)，∴D(ξ)＝20×0.01×(1－0.01)＝0.198.14．如果ξ～B(100，)，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.[答案] 50[解析] P(ξ＝k)＝Ck·100－k＝C100，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．15．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥90010\n工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.[点评] 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力．16．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．10\n(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P＝＝.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝·＝；P(ξ＝1)＝·＋·＝；P(ξ＝2)＝·＋·＝；P(ξ＝3)＝·＝，所以ξ的分布列为ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.1．(2011·广东广州二模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值等于( )A.B.C．5D．3[答案] A[解析] 已知ξ～N(3,4)，所以μ＝3，又因为P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以＝3，解得a＝.2．(2011·浙江五校联考)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )A.B.10\nC.D.[答案] B[解析] 由P(ξ≥1)＝，得Cp(1－p)＋Cp2＝，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝或p＝(舍去)，∴P(η≥2)＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4＝6×()2×()2＋4×()3×＋()4＝.3．(2011·潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A．10%B．20%C．30%D．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]＝×(1－0.2)＝0.4，故选D.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为( )A．5B．5.25C．5.8D．4.6[答案] B[解析] 由题意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝，∴E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.5．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝( )ξ012310\nP0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4[答案] C[解析] 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1)[答案] B[解析] ∵事件A在一次试验中发生的概率为p，∴由条件知Cp(1－p)3≥Cp2(1－p)2，解得p≤0.4，故选B.7．(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( )A．0 B．1 C．2 D．4[答案] B[解析] 由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.8．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析] 设A、B、C、D分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，、、、分别为A、B、C、D的对立事件(例如表示甲同学第一题回答错误)．10\n由题设条件知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P()＝，P()＝，P()＝，P()＝.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W，则由题设条件知W＝ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋BD，∵A、B、C、D各事件相互独立，∴P(W)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P()·P(D)＋P(A)·P()·P(C)·P(D)＋P()·P(B)·P(C)·P(D)＋P()·P(B)·P()·P(D)＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P(ξ＝2)＝P()＝P()·P()＝×＝，P(ξ＝3)＝P(ABC＋A)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P()＝××＋××＝.P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，∴ξ的分布列为ξ234P(ξ)∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.10
