第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n第五讲 离散型随机变量的分布列、数字特征及超几何分布\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 离散型随机变量对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为____________，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为__________随机变量．随机变量离散型\np1＋p2＋…＋pn\n标准差\n(3)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝___________.②D(aX＋b)＝__________.③D(X)＝E(X2)－(E(X))2.aE(X)＋ba2D(X)\n\n\n1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()√×√\n(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从二点分布．()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(6)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()×√×X25P0.30.7\n题组二 走进教材2．(选择性必修3P90T4改编)设随机变量X的概率分布列为则P(|X－3|＝1)＝______.\nAA\n[解析]由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，D(X)>D(Y)投资A股票风险高．\n题组三 走向高考4．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为X，则P(X＝0)＝______，E(X)＝_____.1\n\nB\n选项均值E(X)方差D(X)A2.50.65B2.51.85C2.51.05D2.51.45\n考点突破·互动探究\n例1考点一离散型随机变量分布列的性质——自主练透ABC\n\n(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．\n〔变式训练1〕(2022·江苏无锡模拟)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望为________.\n例2考点二离散型随机变量的期望与方差——多维探究B\n\n\n[引申]在本例条件下D(3X＋5)＝_____.5\n例3D\n\n角度3实际问题中的均值、方差问题(2022·云南十五校联考)为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法．血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否则，无人感染．现有5人待测血样(其中1人感染)，将每人的待测血样平均分为甲、乙两组．甲组，先将2人的血液混在一起检验．若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性，则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者。例4\n乙组：先将3人的血液混在一起检验．若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者．(以上检测次数均指最少次数)(1)求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率；(2)X表示甲组所需化验的次数，求X的期望．[解析](1)设事件A1，A2分别表示依方案甲需要化验2次，3次，事件B1，B2分别表示依方案乙需化验2次，3次，事件A表示甲组化验次数多于乙组化验次数．依题意，\n\n\n求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤：\n注：求离散型随机变量X的分布列，首先要理解X的意义，准确写出X的所有可能值，其次要准确求出X取各个值时的概率．\n〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·江苏镇江调研)随机变量X的分布如下表，则E(5X＋4)＝______.13X024P0.40.30.3\nD\nB\n\n\n(2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．例5考点三超几何分布——师生共研\n\n\n[引申1]用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为多少？\n[引申2]用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为多少？\n1．超几何分布的两个特点：(1)超几何分布是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型．\n〔变式训练3〕(2022·安徽名校联盟联考)为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段．为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服药1045未服药50总计30\n(1)请将上面的列联表补充完整；(2)现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只动物，设其中未服用药的动物为X只，求X的分布列与期望．[解析](1)列联表补充如下患病未患病总计服药104555未服药203050总计3075105\n\n\n名师讲坛·素养提升\n离散型随机变量的分布列与统计综合(2022·四川遂宁诊断)在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取100名顾例6客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分)．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．\n(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？良优合计男40女40合计\n(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．\n[解析](1)列联表下：良优合计男202040女204060合计4060100\n\n\n〔变式训练4〕(2022·四川雅安质检)今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长(单位：分钟)都在区间[50，100]内，书面作业时长的频率分布直方图如下：\n(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数(计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表)估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[90，100]内的为A层次学生，在区间[80，90)内的为B层次学生，在区间[70，80)内的为C层次学生，在其它区间内的为D层学生．现对书面作业时长在70分钟以上(含70分钟)的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X个不同层次，求随机变量X的分布列及数学期望．\n\n\n\n
