10-8离散型随机变量及其概率分布(理)基础巩固强化1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A. B. C. D.[答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，即甲为一等品乙不是一等品或乙为一等品甲不是一等品，∴P＝×＋×＝，故选B.2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)[答案] C[解析] CC表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P(X＝4)＝.3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝，则n与p的值分别为( )A．16与B．20与C．15与D．12与[答案] C[解析] ∵ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝，∴n＝15，p＝.4．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )A．C2·5B．C2·513\nC．C2·5D．C2·5[答案] B[分析] 关键是弄清S7＝3的含义：S7＝a1＋a2＋…＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S7＝a1＋a2＋…＋a7＝3表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P1＝，∴所求概率为P＝C2·5.5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．2[答案] A[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴0×＋1×＋2×＝，∴x＝3.6．设两个相互独立事件A、B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是( )A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，][答案] D[解析] 设事件A、B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P()＝13\nP()·P()＝(1－x)·(1－y)＝⇒1＋xy＝＋x＋y≥＋2.当且仅当x＝y时取“＝”，∴≤或≥(舍)，∴0≤xy≤.∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈[0，]．7．(2011·济南模拟)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于________．[答案] [解析] P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)＝________.[答案] [解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A、B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝.9．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．[答案] [解析] 由条件知，∴P(ξ＝x2)＝，∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－≤d≤.10．(2012·广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．13\n(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[分析] (1)利用频率和为1，可求X值；(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．[解析] (1)图中x所在组为[80,90)即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为，f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24.所以成绩不低于80分的学生有：50f＝50×0.24＝12人；成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3人，所以ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以ξ的分布列为：ξ01213\nP所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.[点评] 1.本题考查频率分布直方图与随机变量的分布列，数学期望等知识，考查抽象概括能力与应用意识．2．应用古典概型求事件的概率是分布列的常见命题方式.能力拓展提升11.(2011·浙江嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A.B.C．1D.[答案] A[解析] 依题意，ξ的取值为0,1,2.且P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(ξ＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(ξ＝2)＝×＝.故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.12．(2012·岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 解法1：由于取后不放回，故在第一次取到白球的条件下，口袋中还有2白2黑4个球，从中任取一球，则取到白球的概率为P＝＝.解法2：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则AB表示“两次都取到白球”．13\n由条件知：P(A)＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.13．(2012·温州一测)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为________分．[答案] 15[解析] 设该生面试时得分数为ξ，则ξ的分布列为ξ30150－15P∴E(ξ)＝30×＋15×＋0×＋(－15)×＝15.14．(2011·湖南理，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.[答案] (1) (2)[解析] 该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为.13\n故P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(B|A)＝＝＝.15．如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：t)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4t的居民数X的分布列和数学期望．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4t的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故X～B(3,0.1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)＝0×0.729＋1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3.13\n16．(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1、X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析] (1)因为保修期为2年，所以“首次发生故障在保修期内”这一事件可表示为“x≤2”；(2)弄清事件“X1＝m”和“X2＝n”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝＝.(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．13\n[点评] 1.本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．2．概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义．1．(2011·浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：ξ200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A．706元B．690元C．754元D．720元[答案] B[解析] 由题意，进这种鲜花500束，利润η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)＝3.5ξ－500而E(ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝690(元)．2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )A.B.C.D.[答案] C[分析] 弄清X＝4的含义是关键，盒中原有3个旧球，9个新球，取出3个球用后放回，此时盒中旧球数X＝4，故取出的3个球中有1个新球，2个旧球．[解析] P(X＝4)＝＝.3．设随机变量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，则事件“X＝1”的概率为______(用数字作答)[答案] 13\n[解析] ∵X～B(n,0.5)，∴D(X)＝n×0.5×(1－0.5)＝2，∴n＝8.∴事件“X＝1”的概率为P(X＝1)＝C×0.5×0.58－1＝.4．袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是.(1)求m、n的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A，“第二次摸出2号球”为事件B，则P(B|A)＝＝，∴m＝3，n＝10－3－1＝6.(2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.ξ的分布列为ξ3456PE(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.5．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A，则检验次数为4的概率P(A)＝·＝.(2)ξ的可能值为2,3,4,5,6，其中P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝·＝，13\nP(ξ＝4)＝P(A)＝，P(ξ＝5)＝·＋＝，P(ξ＝6)＝＝.ξ的分布列为ξ23456Pξ的期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝5.[点评] 要特别注意P(ξ＝5)的情形，一种可能是前四次检验中有一次得到次品第五次为次品；另一种可能是前五次都是正品则余下的两件必都是次品．这是它与其他情形不同的地方．6．某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13\n[解析] (1)∵该单位50位职工全部参与了测试，∴表中标出的总人数也应是50人，∴a＋b＝50－47＝3.(2)从表中可以看出，职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的人数为6人，∴所求概率为＝0.12.(3)∵“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级是相互独立事件，∴P(x＝D且y＝B)＝P(x＝D)·P(y＝B)．即＝×.又∵a＋b＝3，∴＝×，解得b＝1.∴a＝2，b＝1.7．(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是P(E)＝1－P()＝1－××＝.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P(ξ＝30)＝P()＝××＝，P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，P(ξ＝60)＝P(ABC)＝.13\n所以ξ的分布列为ξ30405060PE(ξ)＝30×＋40×＋50×＋60×＝.[点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．13
