【高考领航】2022高考数学总复习10-9离散型随机变量的均值与方差练习苏教版【A组】一、填空题1．若随机变量X的分布列如下表：则EX＝________.X012345P2x3x7x2x3xx解析：由分布列的性质，可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝.答案：2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．解析：ξ＝1时，P＝；ξ＝2时，P＝，∴Eξ＝1×＋2×＝＝.答案：3．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)等于________．解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15.答案：154．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝p，令随机变量ξ＝，则ξ的方差Dξ等于________．6\n解析：Eξ＝0·(1－p)＋1·p＝p，Dξ＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝p(1－p)．答案：p(1－p)5．(2022·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面对面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0，1，2，3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝××2＋×＝，P(X＝3)＝×＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案：6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a、b、c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是________．解析：根据题意得⇒所以Eξ2＝(－1)2×＋02×＋12×＝.6\n则Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝－()2＝.答案：7．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下：ξ123456P0.200.100.□50.100.1□0.20请你先将丢失的数据补齐，再求随机变量ξ的数学期望，其期望为________．解析：易知题表中的两个数据为0.25和0.15，则Eξ＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.答案：2 5 3.5二、解答题8．(2022·江苏省重点中学高三质量检测(三))姚明率领火箭队打入了季后赛，次轮与湖人队争夺出线权，NBA季后赛采用7场4胜制，即若某队先取胜4场则比赛结束．由于NBA有特殊的政策和规则能进入季后赛次轮的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等．根据不完全统计，主办一场季后赛，组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2000万美元．(1)求两队所需比赛场数的分布列；(2)组织者收益的数学期望．解：(1)所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7，{ξ＝k}表示获胜队在第k场获胜后结束比赛(k＝4，5，6，7)，显然获胜队在前面k－1场中获胜3场，从而p(ξ＝k)＝C()k－1，k＝4，5，6，7，所以分布列为ξ4567p(2)所需比赛场数的数学期望是E(x)＝4×＋5×＋6×＋7×＝，组织者收益的数学期望为×2000＝11625万美元．9．(2022·高考山东卷)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C有概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.6\n解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A，乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.又由(1)知DEF、DEF、DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为ξ0123P0.10.350.40.15因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.【B组】一、填空题1．(2022·泰州模拟)已知某一随机变量X的概率分布表如下，且E(X)＝6.3，则a的值为________．答案：72．已知X的概率分布表为X－101P，且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a的值为________．6\n答案：23．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．答案：2004．已知概率分布表为：ξ－101Pa且设η＝2ξ＋3，则η的均值是________．答案：5．(2022·高考上海卷)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布表如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．答案：26．(2022·深圳模拟)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________．答案：7．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________．答案：二、解答题8．(2022·盐城月考)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布表；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．解：(1)6\nξ234P(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝；随机变量ξ的方差V(ξ)＝.9．(2022·潍坊二模)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的概率分布表及数学期望．解：设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3，4，5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3，4，5.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能取值为2，3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的概率分布表为ξ23P0.520.48E(ξ)＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.6
