课后限时集训(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：40分钟一、选择题1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是()35A．1B．2C．D．22111A[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，22414，1∴X～B4，∴E(X)＝4×＝1.故选A．]42．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝()A．0.4B．0.8C．0.6D．0.2B[由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B．]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ－101211Pxy361若E(ξ)＝，则D(ξ)＝()3112A．1B．C．D．293115x＋＋＋y＝1，x＝，36181B[∵E(ξ)＝，∴由随机变量ξ的分布列知，11∴2则3－x＋＋2y＝，y＝，63912111D(ξ)＝－1－×5＋0－2×1＋1－2×1＋2－2×2＝11.]33331836994．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝()718A．3B．C．D．425A21A3112323＋C2C3A2B[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝A210A31055\nA311321313373C2C3＋A3C3C2＝，则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故选B．]A45510105245．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑pii＝1＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以DX1＝0.65.对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X222)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)×0.4＋(2－2.5)×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以DX2＝1.85.对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X223)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)×0.2＋(2－2.5)×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以DX3＝1.05.对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X224)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)×0.3＋(2－2.5)×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以DX4＝1.45.所以B中的标准差最大．]二、填空题\n1n，6．设X为随机变量，X～B3，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于．180n，[由X～B3，E(X)＝2，得2431np＝n＝2，∴n＝6，3121421－80则P(X＝2)＝C633＝.]2437．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6827，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9973)0.8186[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.1∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.]28．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是．32[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,8)，81∴P(ξ＞95)＝，21423故所求概率P＝C42＝.]8三、解答题9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收1成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没2有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η)．131－7[解](1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－2＝.所以4株中恰好有3株成活8\n737131－343的概率P＝C488＝.1024(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，74，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B8，所以ξ的分布列如下表：7∴E(ξ)＝4×＝3.5，8E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.7175(kg)．10．(2020·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．21[解](1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，55若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有2211222218学校选择的概率为P＝C355＋C355＝.125(2)X的可能取值为0,1,2,3.33027则P(X＝0)＝C35＝，125\n232154P(X＝1)＝C355＝，125223236P(X＝2)＝C355＝，1252338P(X＝3)＝C35＝，125∴X的分布列为X01232754368P12512512512527543686∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.12512512512551．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()1115A．B．C．D．63262b＝a＋c，1B[由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξa＋b＋c＝1，321有且只有一个零点，故对于方程x＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]32．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是()770，，1A．12B．12110，，1C．2D．2C[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1510，1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈2.]223．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝，方差D(ξ)的最大值为．\n1p[记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.4ξ01P1－pp数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，221方差D(ξ)＝(0－p)×(1－p)＋(1－p)×p＝p(1－p)≤.41故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.]44．(2020·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．[解](1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0.当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820112111P155551515112111则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16.155551515\n乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618212111P156510630212111则E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.156510630(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估计A公司外卖配送员月薪平均为1800＋4E(X)＝3720(元)．估计B公司外卖配送员月薪平均为2100＋4E(Y)＝3780(元)．因为3780＞3720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42,52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5\nA型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元．记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？[解](1)年龄在[42,47)内的游客人数为150，年龄在[47,52]内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42,47)内的游客人数为6，年龄在[47,52]内的游客人数为4.C3144C6所以P(ξ＝3)＝＝.C43510(2)①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3(万元)．②当投入2艘A型游船时，21若1＜X＜3，则Y＝3－0.5＝2.5，此时P(Y＝2.5)＝P(1＜X＜3)＝＝；1054若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P(Y＝6)＝P(3≤X≤5)＋P(X＞5)＝.5此时Y的分布列如表：Y2.5614P5514此时E(Y)＝2.5×＋6×＝5.3(万元)．55③当投入3艘A型游船时，21若1＜X＜3，则Y＝3－1＝2，此时P(Y＝2)＝P(1＜X＜3)＝＝；1052若3≤X≤5，则Y＝3×2－0.5＝5.5，此时P(Y＝5.5)＝P(3≤X≤5)＝；52若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P(Y＝9)＝P(X＞5)＝.5此时Y的分布列如表：Y25.59122P555122此时E(Y)＝2×＋5.5×＋9×＝6.2(万元)．555由于6.2＞5.3＞3，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．\n
