第十章第十节离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)题组一离散型随机变量的均值问题1.已知随机变量X的分布列为X－2－10123Pmn其中m，n∈[0,1)，且EX＝，那么m，n的值分别为( )A.，B.，C.，D.，解析：由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，由EX＝，得－m＝，∴m＝，n＝.答案：D2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，假设X表示取到次品的个数，那么EX等于________．解析：X＝0时，P＝；X＝1时，P＝；X＝2时，P＝，∴EX＝0×＋1×＋2×＝＝.答案：3．(2022·重庆高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为根底设施工程、民生工程和产业建立工程三类．这三类工程所含工程的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个工程参与建立．(1)求他们选择的工程所属类别互不相同的概率；(2)记X为3人中选择的工程属于根底设施工程或产业建立工程的人数，求X的分布列及数学期望．6/6\n解：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建立工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.(1)他们选择的工程所属类别互不相同的概率P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.(2)法一：设3名工人中选择的工程属于民生工程的人数为Y，由已知，Y～B(3，)，且X＝3－Y，所以P(X＝0)＝P(Y＝3)＝C()3＝，P(X＝1)＝P(Y＝2)＝C()2()＝，P(X＝2)＝P(Y＝1)＝C()()2＝，P(X＝3)＝P(Y＝0)＝C()3＝.故X的分布列为：X0123PX的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.法二：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程或产业建立工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以X～B(3，)，即P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.故X的分布列是：6/6\nX0123PX的数学期望EX＝3×＝2.题组二离散型随机变量的方差问题4.设X是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又EX＝15，DX＝，那么n与p的值为( )A．60，B．60，C．50，D．50，解析：由X～B(n，p)，有EX＝np＝15，DX＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60.答案：B5．已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy假设EX=，那么DX等于（）A.B.C.D.解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5，又EX＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝.所以DX＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.答案：B6．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)假设Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为：X01234P6/6\n∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2DX，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aEX＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．题组三离散型随机变量的均值与方差的实际应用7.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．解析：设公司每月对这辆车收入为X元，那么其分布列为：X－1002500P0.20.8故EX＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980元．答案：19808．利用以下盈利表中的数据进展决策，应选择的方案是________.自然状况盈利方案概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.答案：A39．(2022·徐州模拟)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3.每次测试通过与否互相独立．规定：假设前4次都没有通过测试，那么第5次不能参加测试．6/6\n(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就完毕，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．解：(1)记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，那么P()＝C()()3()＋()4＝＋＝.∴P(A)＝1－P()＝＝.(2)该生参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝()2＝，P(X＝3)＝C···＝，P(X＝4)＝C··()2·＋()4＝＋＝，P(X＝5)＝C()·()2＝.故X的分布列为：X2345PEX＝2×＋3×＋4×＋5×＝.题组四正态分布问题10．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如以下图，那么有( )A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，说明越分散，σ越小，曲线越“高瘦”，说明越集中，由图知σ1＜σ2.答案：A11．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，假设X6/6\n在(0,1)内取值的概率为0.4，那么X在(0,2)内取值的概率为________．解析：在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图像的对称轴为x＝1，X在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量X在(1,2)内取值的概率与X在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量X在(0,2)内取值的概率为0.8.答案：0.812．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，那么P(X＞2)＝________.解析：∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(－2≤X≤2)＝0.8，∴P(X＞2)＝P(X＜－2)＝0.1.答案：0.16/6
