第八章第6课时椭圆课时闯关（含解析）一、选择题1．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为( )A.＋y2＝1 B．x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由题意，c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b＝＝，又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.2．(2012·成都质检)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析：选B.2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.故选B.3．在一椭圆中以焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则此椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.解析：选B.∵以椭圆焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，∴椭圆满足b＝c，∴e＝＝，将b＝c代入可得e＝.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A．(－3,0)B．(－4,0)C．(－10,0)D．(－5,0)解析：选D.∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3，又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN4\n的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．二、填空题6．已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．解析：由题意，c＝4，且椭圆焦点在x轴上，∵椭圆过点(5,0)．∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．解析：F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3<4，∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±.即点P到y轴的距离是.答案：8．如图Rt△ABC中，AB＝AC＝1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为________．解析：设另一焦点为D，则由定义可知．AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a，又∵AC＝1，∴BC＝，∴a＝＋.∴AD＝.在Rt△ACD中焦距CD＝.答案：三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．解：(1)依题意得|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴所求椭圆的方程为＋＝1.(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，4\n即y＝－(x＋1)．解方程组并注意到x<0，y>0，可得∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解：(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，∴Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2.∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴2＋2＝1，∴m＝±.11．(2010·高考课标全国卷)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|，则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝(b＝－不合题意，故舍去)．4\n4
