（江苏专用）2013年高考数学总复习第二章第7课时函数的图象及函数与方程随堂检测（含解析）2b1．(2010·高考湖南卷改编)函数y＝ax＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直a角坐标系中的图象可能是________．bb1b解析：对于①、②由对数函数图象得||＞1，而抛物线对称轴|－|＜，∴||＜1，a2a2ab1bb∴①②不正确；对于③中对称轴－＜－，则||＞1，而对数底数||＜1，∴③不成立．而2a2aab1bb④中，由图象知a>0，－＞－，∴||∈(0,1)，满足y＝log||x为减函数．2a2aa答案：④2.如图是两个函数在定义域[－2,3]上的图象，给出下列函数及其相应的图象，则其中正确的是________．12①y＝；②y＝[g(x)]；③y＝f(x)－g(x)．fx解析：根据f(x)，g(x)的定义域、值域、单调性可知②③错误．答案：①－x23．方程2＋x＝3的实数解的个数为________．解析：1\n2－x1x21x方程变形为3－x＝2＝()，令y＝3－x，y＝().22由图象可知有2个交点．答案：2x4．设x0是方程2＋x－8＝0的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.x解析：设y1＝2，y2＝8－x，在同一坐标系内作出它们的图象，可见这两图象有且只有一个交点且这个交点横坐标在2和3之间，故k＝2.答案：25．作出下列函数的简图．x－|x|(1)y＝|2－1|；(2)y＝2；|lnx|(3)y＝e；(4)y＝|(lg(1－x)|.xx解：(1)先作出函数y＝2的图象，将其图象向下平移一个单长度，得到y＝2－1的图x象，然后再将x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，得到函数y＝|2－1|的图象，如图(1)．x2，x≤0－|x|1(2)y＝2＝x，，x>02x1x分别作出y＝2(x≤0)及y＝()的图象，如图(2)．21，0<x≤1|lnx|x(3)y＝e＝，所以图象如图(3)．xx>1(4)首先作出y＝lgx的图象，将其沿y轴翻折得到y＝lg(－x)的图象，再将所得图象沿x轴向右平移一个单位长度，得到y＝lg(1－x)的图象，再将该图象沿x轴将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y＝|lg(1－x)|的图象，如图(4)．[A级双基巩固]一、填空题1．若函数y＝f(x)的图象经过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象经过点________．解析：令4－x＝1，则函数y＝f(4－x)的图象过点(3,1)．答案：(3,1)2.32已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图所示，则b的范围为________．解析：法一：(定性法)根据解一元高次不等式的“数轴标根法”可知，图象从右上端起，应有a＞0；又由图象知f(x)＝0的三个实根为非负数，据根与系数的关系知2\nb－＝x1＋x2＋x3＞0，即b＜0.a法二：(定量法)据图象知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，ba＝－d＝03∴a＋b＋c＋d＝0⇒2b，c＝－8a＋4b＋2c＋d＝03b322bb∴f(x)＝－x＋bx－x＝－x(x－1)(x－2)，333当x＞2时，有f(x)＞0，∴b＜0.法三：(模型函数法)32构造函数f(x)＝a(x－0)(x－1)(x－2)＝ax＋bx＋cx＋d，3232即ax－3ax＋2ax＝ax＋bx＋cx＋d，b＝－3a∴c＝2a，又由图象知x＞2时，f(x)＞0即a＞0.d＝0∴b＝－3a＜0，∴b∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)x3．(2010·高考天津卷改编)函数f(x)＝e＋x－2的零点所在的区间可以是以下区间中的________．①(－2，－1)，②(－1,0)，③(0,1)，④(1,2)0解析：因为f(0)＝e＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内有一个零点，其他三个区间均不符合条件．答案：③2x＋2x－3，x≤04．(2010·高考福建卷改编)函数f(x)＝的零点个数为________．－2＋lnx，x＞0x≤0，x＞0，2解析：由f(x)＝0，得或解得x＝－3或x＝e，2x＋2x－3＝0，－2＋lnx＝0，故零点个数为2.答案：25．已知函数f(x)＝x是奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，g(x)＝lnx，则函数y＝f(x)·g(x)的图象大致为________．解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(x)·g(x)是奇函数，故y＝f(x)·g(x)图象关于原点对称．排除②④，当自变量x从正的趋向零时f(x)>0，g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，故①正确．答案：①x16．(2010·高考浙江卷改编)已知x0是函数f(x)＝2＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，1－xx2∈(x0，＋∞)，则f(x1)，f(x2)的符号为________．解析：3\nx11设y1＝2，y2＝，在同一坐标系中作出其图象，如图，在(1，x0)内y2＝的图象x－1x－1x1x1x11在y1＝2图象的上方，即＞2，所以2＋＜0，即f(x1)＜0，同理f(x2)＞0.x1－11－x1答案：f(x1)＜0，f(x2)＞07．(2011·高考课标全国卷改编)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)2＝x，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点个数为________．解析：如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象共有10个交点．答案：108．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是________．x解析：可举实例说明如f(x)＝2，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲二、解答题29．设函数f(x)＝|x－4x－5|.(1)画出f(x)图象；(2)设A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2)∪[0,4]∪[6，＋∞)，试判断集合A、B间关系；(3)若在区间[－1,5]上直线y＝kx＋3k(k≠0)位于f(x)图象的上方，求k的取值范围．解：(1)f(x)＝2x－4x－5x>5或x<－1.画出f(x)图象如图所示．2－x＋4x＋5－1≤x≤52(2)不等式f(x)≥5为|x－4x－5|≥5，22故有x－4x－5≥5或x－4x－5≤－5，2即x－4x－10≥0]14)或x≥2＋14，解*2得0≤x≤4，故A＝(－∞，2－14]∪[0,4]∪[2＋14，＋∞)，∵2－14>－2,2＋14<6，故BA.222(3)∵x∈[－1,5]时，x－4x－5≤0，故|x－4x－5|＝－x＋4x＋5，2据题意kx＋3k>－x＋4x＋5，当x∈[－1,5]时恒成立，4\n2－x＋4x＋5即k>在[－1,5]上恒成立，x＋32－x＋4x＋5设g(x)＝，只要求出g(x)在[－1,5]上的最大值，x＋3设t＝x＋3，则t∈[2,8]，且x＝t－3，2－t－3＋4t－3＋516∴g(t)＝＝－(t＋)＋10.tt故当t＝4时，g(t)max＝2.∴k>2.2a10．设函数f(x)＝ax＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b.2b3(1)求证：a>0且－3<<－；a4(2)求证：f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)若函数f(x)的两个零点在区间[m，n]内，求n－m的最小值．aa解：(1)证明：∵f(1)＝－，∴a＋b＋c＝－，故3a＋2b＋2c＝0.*22又∵3a>2c>2b，∴3a>0即a>0.又由*得2c＝－3a－2b，而3a>2c，b故3a>－3a－2b，∴>－3.ab3又2c>2b，∴－3a－2b>2b，∴<－.a4b3故有－3<<－.a4a(2)证明：∵f(0)＝c，f(1)＝－，2ac∴①若c>0，则f(0)f(1)＝－<0，可知f(x)在(0,1)内有零点，从而f(x)在(0,2)内2有零点；a②若c<0，f(2)＝4a＋2b＋c＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0而f(1)＝－<0，故f(1)f(2)<0，2可知f(x)在(1,2)内至少有一个零点．bc(3)设x1，x2是f(x)的两个零点，则x1＋x2＝－，x1x2＝，aa22b24cb22－3a－2bb2b∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝()－＝()－＝()＋4()＋6.aaaaaab3令t＝，由(1)可知t∈(－3，－)，a4222于是|x1－x2|＝t＋4t＋6＝(t＋2)＋2，257∴|x1－x2|<.1657于是n－m≥|x1－x2|≥，457∴n－m的最小值为.4[B级能力提升]一、填空题5\nx2－1，x＞0，1．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m2－x－2x，x≤0.的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x2－1，x＞0，的图象如图所示，2－x－2x，x≤0，该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．答案：(0,1)22．若二次函数f(x)＝x＋2mx＋2m＋1的两个零点均在(0,1)内，则实数m的取值范围是________．解析：若抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，1m>－，f0>0，2f1>0，m>－1，则⇒2Δ≥0，m≥1＋2或m≤1－2，0<－m<1，－1<m<0.1所以－<m≤1－2.21答案：(－，1－2]213．(2011·高考课标全国卷改编)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的1－x图象所有交点的横坐标之和为________．解析：令1－x＝t，则x＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.又y＝2sinπx＝2sinπ(1－t)＝2sinπt.1在同一坐标系下作出y＝和y＝2sinπt的图象．t由图可知两函数图象在[－3，3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.6\n答案：824．设m，k为整数，方程mx－kx＋2＝0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为________．22解析：方程mx－kx＋2＝0在区间(0，1)内有两个不同的根可转化为二次函数f(x)＝mx－kx＋2在区间(0，1)上有两个不同的零点．2Δ＝k－8m>0，k0<<1，∵f(0)＝2，故需满足2m⇒m>0，f(1)>0，2k>8m，m>0，将k看做函数值，m看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，0<k<2m，m－k＋2>0，因为m，k均为整数，结合可行域可知k＝7，m＝6时，m＋k最小，最小值为13.答案：13二、解答题5．已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在[－1,4]上最大值为12.(1)求f(x)的解析式；37(2)是否存在m∈N，使函数g(x)＝f(x)＋，在(m，m＋1)内有且只有两个零点，若存x在，求出m之值，若不存在，说明理由．解：(1)设f(x)＝ax(x－5)(a>0)，5对称轴为x＝，故f(x)在[－1,4]上最大值为f(－1)＝6a，22∴a＝2，故f(x)＝2x－10x.237(2)据题意，方程2x－10x＋＝0在(m，m＋1)内有两个不同实根(m∈N)，x32即方程2x－10x＋37＝0在(m，m＋1)(m∈N)内有两个不同实根．32设h(x)＝2x－10x＋37，2则h′(x)＝6x－20x＝2x(3x－10)，10令h′(x)＝0，则x1＝0，x2＝.3101010x(－∞，0)00，，＋∞333h′(x)＋－＋7\nh(x)↗↘↗101又h3＝－<0，h(3)＝1>0，h(4)＝5>02710103，，4故h(x)在3和3内各有一零点，∴g(x)在(3,4)内有且只有两个零点，故存在满足条件的m＝3.26．m为何值时，f(x)＝x＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大；(3)若f(x)有一个零点x∈(0,1),求m的取值范围．22解：(1)若函数f(x)＝x＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m－4(3m＋4)＝0，22即4m－12m－16＝0，即m－3m－4＝0.解得m＝4或m＝－1.(2)法一：方程思想．若f(x)有两个零点且均比－1大，设两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，2Δ＝4m－43m＋4＞0故只需x1＋1＋x2＋1＞0x1＋1x2＋1＞02m－3m－4＞0m＞4或m＜－1，⇔－2m＋2＞0⇔m＜1，3m＋4＋－2m＋1＞0m＞－5，故－5＜m＜－1，∴m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}．法二：函数思想．若f(x)有两个零点且均比－1大，结合二次函数图象可知只需满足2Δ＝4m－43m＋4＞02m－3m－4＞02m－＞－1⇔m＜121－2m＋3m＋4＞0f－1＞0m＞4或m＜－1，⇔m＜1，故－5＜m＜－1，m＞－5，∴m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}．(3)若f(x)只有一个零点x∈(0,1)，Δ＝024m－43m＋4＝0则b，即，方程无解．0＜－＜10＜－m＜12a若f(x)有两个零点，其中有一个零点x∈(0,1)，则f(0)f(1)＜0，即(3m＋4)(5m＋5)＜0，4∴－＜m＜－1.34∴m的取值范围为{m|－＜m＜－1}．38
