（福建专用）2013年高考数学总复习第六章第4课时基本不等式课时闯关（含解析）一、选择题1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )A．2B．2C．4D．5解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.2．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81解析：选C.对于A，x＋≥4或者x＋≤－4；对于B，等号成立的条件不满足；对于D，也是log3x＋logx81≥4或者log3x＋logx81≤－4，所以答案为C.3．(2012·广州检测)已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值解析：选C.∵x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny≥1⇒xy≥e.4．(2011·高考陕西卷)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b解析：选B.∵0＜a＜b，∴a＜＜b，A、C错误；－a＝(－)＞0，即＞a，故选B.5．(2012·北京海淀区质检)设x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“|x|＋|y|≤”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.∵2|x||y|≤|x|2＋|y|2＝x2＋y2≤1，∴(|x|＋|y|)2＝x2＋2|x||y|＋y2≤2.∴|x|＋|y|≤.取x＝0，y＝，不满足x2＋y2≤1，故是充分不必要条件．4\n二、填空题6．若x>0，y>0且xy＝4，则x2＋y2的最小值为________，x＋y的最小值为________．解析：x2＋y2≥2xy＝8；x＋y≥2＝4.答案：8 47．已知a、b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则＋≥m，恒成立的实数m的最大值是________．解析：＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.所以＋的最小值为4,m≤＋恒成立，m的最大值是4.答案：48．(2011·高考浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．解析：由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，解得－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值为.答案：三、解答题9．(1)当x<1，求函数f(x)＝的最大值；(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值；(3)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．解：(1)∵x<1，∴设t＝1－x>0.∴f(t)＝＝＝＝－＋3.∵t＋≥2，∴f(t)≤－2＋3.当且仅当t＝时取等号，即t＝，x＝1－，∴函数f(x)＝的最大值为－2＋3.(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2·＋2＝2·＋2＝2·＋2＝20，当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时取“＝”．(3)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴2＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(＋1)(3－5)≥0，4\n∴≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.此时x＝y＝，故xy的最小值是.10．已知：a，b是正常数，x,y∈(0，＋∞)，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2，当且仅当bx2＝ay2时等号成立．∴x＋y的最小值为a＋b＋2＝18.又a＋b＝10.① ∴2＝8,∴ab＝16.②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.一、选择题1．(2010·高考四川卷)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )A．1 B．2C．3D．4解析：选D.a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．2．(2012·三明市三校联考)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝60°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为( )A．20B．18C．16D．9解析：选B.由·＝2，∠BAC＝60°，则△ABC的面积为1.则＋x＋y＝1，即x＋y＝，＋＝(2x＋2y)＝10＋＋≥18.当且仅当＝，即y＝2x时，即x＝，y＝时取等号.二、填空题3．当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4m＋2n≥2＝2＝2.当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．∴4m＋2n的最小值为2.4\n答案：24．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析：f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即f(x)min＝25.答案：25 三、解答题5．是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．解：存在常数c＝.证明：令⇒故有＋＝＋＝－≤－＝，同理可证＋≥.故存在常数c＝.6．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该食堂每x天购买一次大米，则每次购买x吨，设平均每天所支付的费用为y元，则y＝[1500x＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x＋＋1501≥1521，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y＝[1500x·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x＋＋1426(x≥20)．函数y在[20，＋∞)上为增函数，所以y≥20＋＋1426＝1451.而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件．4
