（福建专用）2013年高考数学总复习第四章第2课时平面向量的基本定理及其坐标表示课时闯关（含解析）一、选择题1．e1，e2是平面内一组基底，那么( )A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：选A.对于A，∵e1，e2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，λ1e1＋λ2e2一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B.∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即指对角线互相垂直，故四边形为菱形．3．设向量a＝(4sinα，3)，b＝(2,3cosα)，且a∥b，则锐角α为( )A.B.C.D.π解析：选B.∵a∥b，∴4sinα·3cosα＝2×3，∴sin2α＝1，∵α为锐角．∴α＝.故选B.4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝( )A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析：选B.＝－＝(－3,2)，∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)，∴＝3＝(－6,21)．故选B.5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )A．k≠－2B．k≠C．k＝1D．k≠－15\n解析：选C.若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.二、填空题6．梯形ABCD(按顺时针排列)的顶点坐标为A(－1,2)，B(3,4)，D(2,1)且AB∥DC，AB＝2CD，则点C的坐标为________．解析：＝＝(4,2)＝(2,1)，＝＋＝(2,1)＋(2,1)＝(4,2)．答案：(4,2)7．已知a是以A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是________．解析：设a的终点坐标为(x，y)，则a＝(x－3，y＋1)，由已知得解得或所以终点坐标为或.答案：或8．(2012·三明调研)已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为________．解析：|a－b|＝|sinθ－cosθ|＝≤2.答案：2三、解答题9．已知a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.解：因为u＝a＋2b＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)，v＝2a－b＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)．(1)u＝3v，即(2x＋1,3)＝3(2－x,1)，(2x＋1,3)＝(6－3x,3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.(2)u∥v⇒(2x＋1,3)＝λ(2－x,1)⇒⇒(2x＋1)－3(2－x)＝0⇒x＝1.10．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.解：(1)因为a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，所以a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)．所以|a＋tb|＝＝＝≥＝，当且仅当t＝时取等号，即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.(2)因为a－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)，又因为a－tb与c共线，c＝(3，－1)，5\n所以(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝.一、选择题1．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )A．{(1,1)}B．{(1,1)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅解析：选C.M＝{a|a＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}，令即解之得代入M或N中得a＝(－2，－2)．所以M∩N＝{(－2，－2)}．2．(2012·南平调研)设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α是实数，若a＝2b，则的取值范围是( )A．[－6,1]B．[4,8]C．[－1,1]D．[－1,6]解析：选A.由a＝2b得所以λ2－m＝λ2－－1＝cos2α＋2sinα＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2.所以－2≤λ2－－1≤2.因为λ2－＋3≥0恒成立，由λ2－－3≤0，解得－≤λ≤2.由＝＝＝2－可得－6≤≤1.二、填空题3．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(θ，sinθ)，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足＝m⊗＋n(其中O为原点)，则y＝f(x)的最大值和最小正周期分别为________．解析：设Q(x，y)，由题知(x，y)＝＋＝，∴⇒y＝sin，ymax＝，T＝4π.答案：，4π5\n4.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：法一：建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B.设∠AOC＝α，则＝(cosα，sinα)．∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cosα，sinα)．∴∴∴x＋y＝sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值．法二：设∠AOC＝α，则即∴x＋y＝2[cosα＋cos(120°－α)]＝cosα＋sinα＝2sin≤2.答案：2三、解答题5．已知向量u＝(x，y)，与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)．∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．∴即∴c＝(2p－q，p)．6．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.5\n(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．解：(1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2－1)＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时等号成立，即S△ABC的最大值为.5
