2013年高考数学总复习第六章第2课时均值不等式课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2011·高考陕西卷)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b解析：选B.∵0＜a＜b，∴a＜＜b，A、C错误；－a＝(－)＞0，即＞a，故选B.2．(2012·汉中质检)下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81解析：选C.对于A，x＋≥4或者x＋≤－4；对于B，等号成立的条件不满足；对于D，也是log3x＋logx81≥4或者log3x＋logx81≤－4，所以答案为C.3．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )A．2B．2C．4D．5解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.4．已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值解析：选C.∵x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤()2，∴lnx＋lny≥1⇒xy≥e.5．(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.3\n当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.二、填空题6．函数y＝(x≠0)的最大值为__________，此时x的值为________．解析：y＝＝≤＝，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．答案： ±7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.解析：每年购买次数为.∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.答案：208．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤()2(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，所以x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，故x＋y∈[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)三、解答题9．(1)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值；(3)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．解：(1)∵0<x<，∴3－2x>0.∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈(0，)，∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为.(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2·＋2＝2·＋2＝2·＋2＝20，3\n当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时取“＝”．∴3x＋27y＋2的最小值为20.(3)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴2＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(＋1)(3－5)≥0，∴≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.此时x＝y＝，故xy的最小值是.10．若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0，得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0，因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由均值不等式得xy≤≤＝2，所以xy≤2.11．(探究选做)学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该食堂每x天购买一次大米，则每次购买x吨，设平均每天所支付的费用为y元，则y＝[1500x＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x＋＋1501≥1521，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y＝[1500x·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x＋＋1426(x≥20)．函数y在[20，＋∞)上为增函数，所以y≥20＋＋1426＝1451.而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件．3
