（福建专用）2013年高考数学总复习第六章第6课时直接证明与间接证明课时闯关（含解析）一、选择题1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．a≤b解析：选A.∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex<e0＝1故a>b.2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度解析：选B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.3．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )A．a＞＞B.＞＞aC.＞＞aD.＞a＞解析：选C.∵a＜0，b＜－1，则＞0，b＞－1.则b2＞1.∴＜1.又∵a＜0，∴0＞＞a.∴＞＞a.故选C.4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：选D.因为a2＋b2－1－a2b2≤0，∴(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.5．设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )A．(2)(3)B．(1)(2)(3)C．(3)D．(3)(4)(5)解析：选C.若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故(1)推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故(2)推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，ab>1，故(4)(5)推不出；对于(3)，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.4\n二、填空题6．(2012·海口市调研)设a＝＋2，b＝2＋，则a、b的大小关系为________．解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显<.∴a<b.答案：a<b7．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则在a＋b,2，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：法一：a＋b>2，a2＋b2>2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)>0，∴a＋b最大．法二：特值法，取a＝，b＝，计算比较大小．答案：a＋b8．(2012·漳州质检)α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线．有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题．则可以在横线处填入的条件是________．解析：若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，则a∥b.若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a＝(α∩β∩γ)，又b⊂γ，b∥β，则b∥a.若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.或直接通过反例否定②.答案：①或③三、解答题9．已知非向零量a⊥b，求证：≤.证明：∵a⊥b，∴a·b＝0.要证≤，只需证|a|＋|b|≤2|a－b|，平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．一、选择题1．“M不是N的子集”的充分必要条件是( )A．若x∈M，则x∈NB．若x∈N，则x∈MC．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈M且x2∈ND．存在x0∈M且x0∉N解析：选D.根据子集概念可知．2．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )4\nA．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：选D.由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．二、填空题3．(2012·南平质检)如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：a＋b>a＋b⇒(－)2(＋)>0，则a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0，且a≠b4．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.答案：三、解答题5．已知a＞0，求证：－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.∵a＞0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，4\n只要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．6．(2012·福州质检)已知对任意的实数m，直线x＋y＋m＝0都不与曲线f(x)＝x3－3ax(a∈R)相切．(1)求实数a的取值范围；(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于.试证明你的结论．解：(1)f′(x)＝3x2－3a∈[－3a，＋∞)，∵对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不与y＝f(x)相切，∴－1∉[－3a，＋∞)，－1＜－3a，实数a的取值范围是.(2)存在，反证法．假设在x∈[－1,1]上不存在x0，使得|f(x0)|≥成立，即∀x∈[－1,1]，|f(x0)|＜，设g(x)＝|f(x)|，则g(x)在x∈[－1,1]上是偶函数，∴x∈[0,1]时，|f(x)|max＜，①当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝0，g(x)＝f(x)g(x)max＝f(1)＝1－3a＜，a＞与a≤0矛盾；②当0＜a＜时，f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋)(x－)，列表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大2a↘极小－a↗f(x)在(0，)上递减，在(，1)上递增，注意到f(0)＝f()＝0，且＜＜1，∴x∈(0，)时，g(x)＝－f(x)，x∈(，1)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)max＝max{f(1)，－f()}，注意到0＜a＜，由：，矛盾；，矛盾；∴∀x∈[－1,1]，|f(x0)|＜与a＜矛盾，∴假设不成立，原命题成立．4
