第23讲圆的有关计算考点1正多边形与圆如果正多边形的边数为n，外接圆半径为R，那么边长an=2Rsin周长C=2nRsin边心距rn=Rcos考点2圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是n，那么弧长公式弧长l=扇形面积公式S扇==lR考点3圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高，r是底面半径；(2)l是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的①；(3)圆锥的侧面展开图是半径等于②长，弧长等于圆锥底面③的扇形.圆锥的侧面积S侧=④圆锥的全面积S全=⑤1.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解.2.圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题.命题点1正多边形与圆例1(2022·滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的()A.6，3B.3，3C.6，3D.6，3方法归纳：解决正多边形与圆的问题通常是将正多边形分解成三角形，利用正多边形的边长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系来解决.10\n1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°2.(2022·天津)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是()A.B.2C.3D.23.半径为r的圆内接正三角形的边长为(结果可保留根号).命题点2弧长与扇形面积的计算例2如图，水平地面上有扇形AOB，半径OA=6cm，∠AOB=60°,且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，此时O点移动的距离为cm，则此扇形的面积为cm2.(结果保留π)方法归纳：求弧长的关键是要知道半径和弧所对的圆心角的度数；求扇形的面积可用两个公式:①S扇形＝清楚地反映了变量S，n，R三者之间的关系，②S扇形＝lR反映的则是变量S，l，R三者之间的关系，据此可解决相关的“知二求一”问题.1.(2022·云南)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为()A.B.2πC.3πD.12π2.(2022·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形OAB的面积是()A.6πcm2B.8πcm2C.12πcm2D.24πcm23.(2022·西宁)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的弧长l=.（结果保留π)4.已知扇形的圆心角为120°,弧长为20πcm，求扇形的面积(结果用π表示).命题点3阴影面积的计算10\n例3(2022·衢州)如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧(AB)对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为2cm，求三角板和量角器重叠部分的面积.【思路点拨】重叠部分可分割成扇形和三角形，分别根据公式求得扇形和三角形的面积，再相加即可.【解答】方法归纳：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，转化为规则的图形再进行计算.1.(2022·东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为()A.B.C.D.2.(2022·重庆A卷)如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)3.一个商标图案如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心，AD长为半径作半圆，求商标图案的面积.命题点4圆锥的有关计算例4(2022·日照)小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6π10\ncm，那么这个的圆锥的高是()A.4cmB.6cmC.8cmD.2cm【思路点拨】扇形的半径即为圆锥的母线长，扇形的弧长即为圆锥的底面周长，由此由2πr=6π，得出圆锥的半径r=3cm，最后根据勾股定理得圆锥的高.方法归纳：圆锥的有关计算首先要明白扇形围成圆锥的过程，扇形的半径变为圆锥的母线、扇形的弧长变为圆锥的底面周长，再利用有关公式求解.1.(2022·宁波)圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是()A.6πB.8πC.12πD.16π2.用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是()A.cmB.3cmC.4cmD.4cm3.(2022·南京)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为cm.4.如图，已知每个小正方形的边长为1cm，O、A、B都在小正方形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的全面积.10\n1.(2022·衡阳)圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为()A.6B.9C.18D.362.边长为a的正六边形的内切圆的半径为()A.2aB.aC.aD.a3.(2022·泸州)一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为()A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm4.(2022·沙坪坝模拟)如图，⊙O的半径是1，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OA、OB.若∠P=60°，则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.5.(2022·重庆B卷)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()A.25π-6B.-6C.-6D.-66.(2022·菏泽)在半径为5的半圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为.（结果保留π)7.(2022·崇明二模)如果一个正六边形的边心距的长度为cm，那么它的外接圆的半径的长度为cm.8.(2022·河北)如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形=cm2.9.(2022·烟台)如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于.10.(2022·佛山)如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角.（参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长）10\n11.如图，ABCD是矩形，AD=2，AB=1，的圆心是点A.(1)求的长；(2)求阴影部分的面积.12.如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动.(1)请在图1中画出光点P经过的路径；(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π).13.(2022·随州模拟)如图，将量角器和含30°10\n角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且DC=2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，如果AB=6cm，则的长是cm.（结果保留π）14.(2022·襄阳)如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积.参考答案考点解读①半径②母线③周长④πrl⑤πrl+πr2各个击破例1B题组训练1.B2.B3.例210π30π题组训练1.C2.C3.4.根据弧长公式得，=20π，解得R=30.故S扇形=lR=×20π×30=300π(cm2).例3∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°.在Rt△BOC中，OC=2，∴OB=4，BC=2.∴S重叠部分=S扇形AOB+S△BOC10\n=+×2×2=π+2（cm2）.题组训练1.C2.3.∵矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，∴AD=BC=4，∴S矩ABCD=AB·BC=8×4=32，S扇ADF==4π，S△FBC=BC·FB=×4×(8+4)=24，∴S阴=S矩ABCD+S扇ADF-S△FBC=32+4π-24=(8+4π)cm2.答：商标图案的面积为(8+4π)cm2.例4A题组训练1.B2.C3.64.由图可知，OB==2，∠AOB=90°，则弧AB的长为==π（cm），圆锥的侧面积=×2×π=2π(cm2).设底面半径为r，则2πr=π，∴r=,∴圆锥的底面面积=πr2=π()2=π(cm2).∴圆锥的全面积=2π+π=π(cm2).整合集训1.C2.C3.B4.A5.D6.7.28.49.10.设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值==，∴母线AB与高AO的夹角为30°.11.(1)连接AE，10\n∵AD=2，AB=1，∴AE=2，∴∠DAE=∠AEB=30°，∴==.(2)∵AE=2，AB=1，∴EB=，∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD-S扇形DAE-S△ABE=2×1--×1×=2--.12.(1)如图；(2)∵4×＝6π，∴点P经过的路径总长为6π.13.π14.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°.∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，∴∠AFB+∠FAB=90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG.∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB=BE=AB=1，∴AF==.在△FEC和△CGF中，∵EC=FG，∠ECF=∠GFC，FC=CF，∴△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF.∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG=+×2×1+×(1+2)×1-10\n=-(或).10
