第22讲与圆有关的位置关系考点1点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量(d与r)的大小关系①②③考点2直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.位置关系相离相切相交公共点个数012公共点的名称无切点交点数量关系④⑤⑥考点3圆的切线切线的判定(1)与圆有⑦公共点的直线是圆的切线(定义法).(2)到圆心的距离等于⑧的直线是圆的切线.(3)过半径外端点且⑨半径的直线是圆的切线.切线的性质(1)切线与圆只有⑩公共点.(2)切线到圆心的距离等于圆的⑪.(3)切线垂直于经过切点的⑫.切线长过圆外一点作圆的切线，这点和⑬之间的线段长叫做这点到圆的切线长.切线长定理从圆外一点可以引圆的⑭条切线，它们的切线长⑮，这一点和圆心的连线⑯两条切线的夹角.考点4三角形与圆确定圆的条件不在直线的三个点确定一个圆.三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形的距离相等.三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形的距离相等.1.判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径.2.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a,b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R=；②直角三角形的内切圆半径r=.命题点1点与圆、直线与圆的位置关系16\n例1(2022·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3).(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；(2)若直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l与⊙P的位置关系.【思路点拨】(1)先画出△ABC，然后确定⊙P，通过计算PD的长度来判断点D与⊙P的位置关系；(2)通过(1)判断点D在圆上，则只需说明垂直即可.【解答】方法归纳：判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系.1.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定2.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是()3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是.命题点2切线的性质与判定例2(2022·天水)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由.(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长.【思路点拨】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，从而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根据切线的判定推出即可；16\n(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE=EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【解答】方法归纳：切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接这条线段是常见的辅助线作法.1.(2022·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°.则∠ABD的度数是()A.30°B.25°C.20°D.15°2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是()A.4B.8C.4D.83.下列说法中，正确的是()A.圆的切线垂直于经过切点的半径B.垂直于切线的直线必经过切点C.垂直于切线的直线必经过圆心D.垂直于半径的直线是圆的切线4.(2022·湘潭)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=.5.(2022·昭通)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°.16\n(1)求∠D的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线.命题点3三角形与圆的位置关系例3在锐角△ABC中，BC=5，sinA=.(1)如图1，求△ABC的外接圆的直径；(2)如图2，点I为△ABC的内心，若BA=BC，求AI的长.【思路点拨】(1)对于条件sinA=怎样运用应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；(2)利用等腰三角形三线合一可知BI垂直于AC，再利用面积法解答.【解答】方法归纳：通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题目中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法，构造直角三角形求解.1.如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠BAC=50°，则∠BOC的度数是()A.90°B.100°C.115°D.130°2.(2022·永安质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，-3).则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是()A.(0，0)B.(1，0)C.(-2，-1)D.(2，0)16\n3.如图：⊙O是△ABC的外接圆，且半径为10，∠A=60°，求弦BC的长.第1课时基础训练1.(2022·白银)已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2022·青岛)直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是()A.r＜6B.r=6C.r＞6D.r≥63.(2022·天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=25°，则∠C的大小等于()A.20°B.25°C.40°D.50°4.(2022·崇明二模)在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为2，点P的坐标为(4，5)，那么点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定5.如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心.若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B点坐标为()A.(3，-1)B.(3，-2)C.(3，-3)D.(3，-4)6.(2022·淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半径为16\n，CD=4，则弦EF的长为()A.4B.C.5D.67.在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是.8.(2022·重庆B卷)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=.9.如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为.10.如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，则△ABC外接圆半径的长度为.11.如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数y＝(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为.12.如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB=，OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2，刚好与⊙O相切于点C，则OC=.16\n13.(2022·牡丹江)如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm.求：直径AB的长.14.(2022·盐城)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD=2，求BD的长.15.(2022·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD.(1)求证：∠A=∠BCD；(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由.16\n第2课时能力训练1.(2022·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()A.1B.1或5C.3D.52.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E，过劣弧(不包括端点D,E)上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A.rB.rC.2rD.r3.(2022·宜宾)已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.54.(2022·玉林)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF，且EF∥MN，则cos∠E=.5.如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖.6.(2022·宜宾)如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=.16\n7.如图所示，已知点A从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以点O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C都在第一象限内，且∠AOC=60°，若以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=.8.(2022·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；(2)填空：①当DP=cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=cm时，四边形AOBD是正方形.9.(2022·德州)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.16\n10.如图，点B在y轴上，BA∥x轴，点A的坐标为(5.5，4)，⊙A的半径为2.现有点P从点B出发沿射线BA运动.(1)当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；(2)设点P的横坐标为x，连接OP，试探究射线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.参考答案考点解读①d＜r②d=r③d＞r④d＞r⑤d=r⑥d＜r⑦唯一⑧半径⑨垂直于⑩一个⑪半径⑫半径⑬切点⑭两⑮相等⑯平分同一外接圆外心三个顶点内切圆内心三边各个击破例1(1)所画的⊙P如图所示，由图知⊙P的半径为.连接PD.16\n∵PD=12+22=，∴点D在⊙P上.(2)直线l与⊙P相切.理由：连接PE.∵直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5.∴PE2=PD2+DE2.∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°.∴PD⊥l.∴直线l与⊙P相切.题组训练1.C2.B3.相切例2(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切.理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°.∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°.∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO.∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE.∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切.(2)∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD=4.∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°.设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2，则(4+x)2=x2+(5+3)2，解得x=6.即BE=6.题组训练1.B2.B3.A4.45.(1)∵∠B与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ADC=∠B=60°.(2)证明：∵AB是⊙O的直径，16\n∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°.∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE.∴AE是⊙O的切线.例3(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD,则∠CBD=90°，∠D=∠A，∴=sinD=sinA=.∵BC=5，∴CD=，即△ABC的外接圆的直径为254.(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E.∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∵AB=BC，∴BH⊥AC.∴IH=IE.∴在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BAH=4，AH==3.∵S△ABI+S△AHI=S△ABH，∴+=.即+=.∵IH=IE，∴IH=.在Rt△AHI中，由勾股定理，得AI==.题组训练1.C2.C3.过O作OD⊥BC于D，则∠BOD=∠COD=∠BOC.16\n又∵∠BOC=2∠A，∴∠BOD=∠A=60°.在Rt△BOD中，OB=10，∠BOD=60°，∴BD=OB=5，∴BC=2BD=10.整合集训第1课时基础训练1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.点P在⊙O内8.89.相切10.11.(3，2)12.213.∵∠A=30°，OC=OA，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°.∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°.∵OD=30cm，∴OC=OD=15cm，∴AB=2OC=30cm.14.(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A.∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD.∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°.∴∠D=∠COD=45°.(2)∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得22+22=(2+BD)2，∴BD=-2.15.(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD.(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切.理由：连接DO.∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD.∵DM=CM，∴∠DCM=∠CDM.∵∠OCD+∠DCM=90°，∴∠ODC+∠CDM=90°，∴直线DM与⊙O相切.第2课时能力训练1.B2.C3.C4.5.16\n6.提示：连接OM，OC，则∠AOC=2∠ABC=60°，∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得AM=.7.提示：由题意可知，当以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切时，如图所示.连接PC，作PD⊥OC于点D，则∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×4=2.∴OC=2OD=4.∴OA=OC=4.则t=.8.(1)证明：连接OA，AC.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，∴∠ACP=30°.∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP，即△ACP是等腰三角形.(2)①1;②2-1.提示：①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，∴∠AOP=60°，∴OP=2OA，DP=OD=CD=1.②要使四边形AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，∴DP=OP-1=-1.9.(1)连接BD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.16\n在Rt△ABC中，AC＝==8.∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，AD=BD＝5，∴AC＝8cm，AD＝5cm.(2)直线PC与⊙O相切.理由：方法一：连接OC，OD.∵AD=BD，∴OD⊥AB，∴∠DOE＝90°，∴∠ODE+∠OED＝90°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∴∠OED＝∠PEC＝∠PCE.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCP＝∠PCE+∠OCD＝∠OED+∠ODE＝90°，即OC⊥PC.∴直线PC与⊙O相切.方法二：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE+∠ACE，∴∠PCB+∠ECB＝∠CAE+∠ACE.∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB,∴∠PCB＝∠CAE,∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠ACO+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切.10.(1)点P的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)；(2)过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，当点P在点A的左侧时，x＜5.5，点A的坐标为(5.5，4)，此时⊙A过P的切线为OM1,M1为切点，如图.AP1=5.5-x，OB=4，⊙A的半径为2，∴AM1=2，BA∥x轴，∴∠OBP1=90°，16\n∴∠AM1P1=∠OBP1，∠AP1M1=∠OP1B，∴△OBP1∽△AM1P1，∴=.∴=，即OP1=11-2x.在Rt△OBP1中，(11-2x)2=42+x2，解得x=3或x=(舍去)；当点P在点A的右侧时，x＞5.5，同理可解得x=3(舍去)或x=353.∴当x=3或时，直线OP与圆A相切；当0＜x＜3或x＞时相离；当3＜x＜直线与圆相交.16
