第23讲 与圆有关的计算A组 基础题组一、选择题1.(2022广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是5,则圆锥的母线长为( )A.5B.25C.35D.52.(2022浙江衢州)如图,AB是圆锥的母线,BC为底面半径,已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15πcm2,则sin∠ABC的值为( )A.34B.35C.45D.533.(2022临沂)如图,AB是☉O的直径,BT是☉O的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是( )12\nA.2B.32-14πC.1D.12+14π4.(2022甘肃兰州)如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为( )A.π+1B.π+2C.π-1D.π-25.(2022四川绵阳)蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是 ( )A.(30+529)πm2B.40πm2C.(30+521)πm2D.55πm26.(2022东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.31+πB.32C.34+π22D.31+π212\n7.如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为( )A.πB.2πC.3πD.4π二、填空题8.一块等边三角形的木板边长为1,将木板沿水平翻滚如图所示,那么B点从开始到结束所经过的路线长为 . 9.(2022湖南永州)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10cm,高为12cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是 cm2(结果保留π). 10.(2022甘肃兰州)如图,△ABC的外接圆圆O的半径为3,∠ACB=55°,则劣弧AB的长是 .(结果保留π) 11.(2022烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交AB于点D,点F是AB上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 . 12\n三、解答题12.(2022湖南衡阳)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4,CE=2,求BD的长.(结果保留π)B组 提升题组 一、选择题1.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A.90°B.120°C.150°D.180°2.(2022山西)如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB、AD的延长线于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8二、填空题12\n3.(2022广东)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于E,连接BD,则阴影部分的面积为 .(结果保留π) 4.(2022盘锦)如图,☉O的半径OA=3,OA的垂直平分线交☉O于B,C两点,连接OB,OC,用小扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 . 5.(2022德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 . 6.(2022江苏无锡)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆O1和O2的同侧),则由AE,EF,FB,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于 . 三、解答题7.已知,圆锥底面半径为10cm,高为1015cm.(1)求圆锥的表面积;12\n(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.第23讲 与圆有关的计算A组 基础题组一、选择题1.C 圆锥的侧面展开图是扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径长等于圆锥的母线长,即120π×l180=2π×5,解得l=35.故选C.2.C 设圆锥的母线长为Rcm,由题意得15π=π×3×R,解得R=5.即AB=5cm,又BO=12BC=3cm,∴AO=4cm,∴sin∠ABC=AOAB=45,故选C.3.C 设AT交☉O于D,连接BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB=45°,BT是☉O的切线,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD=TD=22AB=2,∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,12\n∴阴影部分的面积=S△BTD=12×2×2=1.故选C.4.D 连接AC,OD,则AC=4,∴正方形ABCD的边长为22,∴正方形ABCD的面积为8.由题意可知,☉O的面积为4π.根据图形的对称性,知S阴影=S扇形OAD-S△OAD=π-2.故选D.5.A ∵圆柱和圆锥的底面积为25πm2,∴圆柱和圆锥的底面半径为5m.∵圆锥的高为2m,∴圆锥的母线长为29m,∴毛毡的面积=圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=2π×5×3+π×5×29=30π+529π=(30+529)π(m2),故选A.6.C 圆柱的侧面展开图如下,由题意可知AB=3,BB'=3π,∴AC=AB2+BC2=32+3π22=9+9π24=34+π22.故选C.7.B 根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA'的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即S阴影=S扇形ABA'+S半圆-S半圆=S扇形ABA'=45×π×42360=2π.故选B.二、填空题8.答案 43π解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠BAC=60°,∴两次旋转的角度都是180°-60°=120°,12\n∴B点从开始到结束所经过的路线长=2×120π×1180=43π.9.答案 65π解析 PB=1022+122=13(cm).做这个玩具所需纸板的面积等于展开后扇形的面积,S=12×10π×13=65π.10.答案 11π6解析 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=110°,所以劣弧AB的长为110×π×3180=11π6.11.答案 36π-108解析 如图,∵CD⊥OA,∴∠DCO=∠AOB=90°,∵OA=OD=OB=6,OC=12OA=12OD,∴∠ODC=∠BOD=30°.作DE⊥OB于点E,则DE=12OD=3,∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=30·π·62360-12×6×3=3π-9,则剪下的纸片面积之和为4×3×(3π-9)=36π-108.三、解答题12.解析 (1)证明:如图,连接OD,交BC于点P,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠EAF,12\n∴∠DAE=∠OAD,∴∠DAE=∠ODA,∴OD∥AE,∵AE⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴OD⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠E=∠PDE=90°,∴四边形CEDP是矩形,∴PD=CE=2.又∵OD∥AE,点O是AB的中点,∴OP是△ACB的中位线,∴OP=12AC=12×4=2,∴OD=OB=2+2=4.在Rt△OPB中,OP=2,OB=4,∴∠POB=60°,∴BD的长=60×π×4180=43π.B组 提升题组一、选择题1.D 设正圆锥的底面半径是r,则母线长是2r,底面周长是2πr.设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°,则n·π·2r180=2πr,解得n=180.故选D.2.A ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,因为圆和正方形是中心对称图形,∴S阴影=S扇形AEF-S△ABD=90π·42360-AO·BD2=90π·42360-2×42=4π-4,故选A.二、填空题12\n3.答案 π解析 连接OE.阴影部分的面积=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=12×2×4-2×2-14π×22=π.4.答案 22解析 连接AB,AC.∵BC为OA的垂直平分线,∴OB=AB,OC=AC,∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,∴△OAB和△AOC都是等边三角形,∴∠BOA=∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,设圆锥的底面半径为r,则2πr=120π×3180,解得r=1,∴这个圆锥的高为32-12=22.5.答案 2(π+2)8解析 设☉O与矩形ABCD的另一个切点为M,连接OM,OG,则M,O,E共线.由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1m,∴S透明区域=180π×12360+2×12×1×1=π2+1(m2).过O作ON⊥AD于N,12\n∴ON=12FG=22,∴AB=2ON=2×22=2,∴S矩形=2×2=22,∴S透光区域S矩形=π2+122=2(π+2)8.6.答案 3-534-π6解析 如图,连接AE,BF,延长FE交AD于G,则EG⊥AD.∵AB=3,EF=2,∴EG=12.∵AD=2,∴O1A=O1E=1.∴∠AO1E=30°.∴O1G=32.∴AG=1-32=2-32.∵弓形AE的面积=扇形AO1E的面积-△O1AE的面积=30·π·12360-12O1A·EG=π12-12×1×12=π12-14,∴图中阴影部分的面积=梯形AEFB的面积-2×弓形AE的面积=12(EF+AB)·AG-2×π12-14=12×(2+3)×2-32-π6+12=52×2-32-π6+1212\n=10-534+24-π6=3-534-π6.三、解答题7.解析 (1)圆锥的母线长SA=OA2+OS2=102+(1015)2=40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π×OA=2π×10=20π(cm),∴S侧=12l×SA=12×20π×40=400π(cm2),又S底=π×OA2=π×102=100π(cm2),∴S表=S底+S侧=500π(cm2).(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知SA=40(cm),弧AA'的长=20π(cm),∠ASA'=90°.又SA'=SA=40(cm),SM=3A'M,∴SM=34SA'=30(cm),∴在Rt△ASM中,AM=SA2+SM2=402+302=50(cm),∴蚂蚁所走的最短距离是50cm.12
