二次函数的应用一、选择题1、ABCD(2022北仑区一模)12.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ▲ ）．A．B．C．D．【答案】A第1题二、填空题三、解答题1、（2022年湖北荆州模拟题）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y=mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.解：（1）分两种情况讨论：①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2方程有实数根②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0∵不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.（2）设x1、x2为抛物线y=mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=，x1·x2=由|x1－x2|====，由|x1－x2|=2得=2，∴或，∴m=1或m=∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－第1题图2．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，56\nBC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由.答案：（1）∵DE平分△ABC的周长，∴，即y＋x＝12．∴y关于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）．（2）过点D作DF⊥AC，垂足为FF第1题图∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∴，即．∴．∴．故当x＝6时，S取得最大值．此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形．3、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分10分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.(1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2)写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？解:(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有:0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50;答一次至少买50只，才能以最低价购买(2)（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）56\n(3)将配方得，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元.4.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题10分)许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称。经过测算，中间抛物线的解析式为y＝－x2＋10，并且BD＝CD。（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB的长；（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式。答案：（1）OE＝10（2）AB＝80（3）5.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题12分)如图，平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），D、E在x轴上，F为平面上一点，且EF⊥x轴，直线DF与直线AB互相垂直，垂足为H，△AOB≌△DEF，设BD＝h。（1）若F坐标（7，3），则h＝，若F坐标（－10，－3），则DH＝；OABDEFHxy（2）如h＝，则相对应的F点存在个，并请求出恰好在抛物线y＝上的点F的坐标；（3）请求出4个h值，满足以A、H、F、E为顶点的四边56\n形是梯形。答案：（1）0（2）4求抛物线与x轴、y轴交点坐标，刚好过A、B、D三点，可求得F（，3）在抛物线上。（3）6.（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）直接写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（本小题满分12分）解：（1）A（8，0），B（0，4）。（2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得，解得。∴直线AC：。∵直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。56\n设P，在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，∴。∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。∵，∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。设P（p，），则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，∴，整理得，解得（舍去）。当时，EP==10。∴P（3，10）。∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。7．（2022盐城市景山中学模拟题）(本题满分12分)抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，以PE为边在PE右侧作正方形PEDC（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当正方形PEDC顶点D落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA56\n上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，在QF的左侧作正方形QFMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．答案：(1)点B的坐标为（2，4）．(2)①设OP的长为t，那么PE＝2t，ED＝2t，点D的坐标为(3t,2t)．当点D落在抛物线上时，．解得．②当两条边CD与MN在同一条直线上时，点C、N重合，此时6t＝10．解得t＝．当两条边CD与QF在同一条直线上时，点C、Q重合，此时5t＝10．解得t＝2．当两条边PE与MN在同一条直线上时，点P、N重合，此时4t＝10．解得t＝．当两条边PE与QF在同一条直线上时，点P、Q重合，此时3t＝10．解得t＝．8．（2022盐城市景山中学模拟题）(本题满分12分)某厂销售一种专利产品，现准备从专卖店销售和电视直销两种销售方案中选择一种进行销售．若只是专卖店销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x＋150，成本为40元/件，无论销售多少，每月还需支出房租费52500元，设月利润为w专（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只是电视直销，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，40≤a≤80），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x256\n 元的广告费，设月利润为w电（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y =元/件，w内 =元；（2）分别求出w专、w电与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在专卖店销售的月利润最大？若是电视直销月利润的最大值与在专卖店销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在专卖店还是电视直销才能使所获月利润较大？答案：(1)140、47500（2）w专=x（y－40）－52500=（x2＋110x）－52500，W电=x2＋（150－a）x（3）当x=5500时，w专最大；为250000由题意得，W电最大时解得a1=50，a2=250（不合题意，舍去）．所以a=50．（4）当x=5000时，w专=247500，w外=500000－5000a若w专＜W电，则a＜50.5；若w专=W电，则a=50.5；若w专＞W电，则a＞50.5．所以，当40≤a＜50.5时，选择在电视直销销售；当a=50.5时，在专卖店和电视直销销售都一样；当50.5＜a≤80时，选择在专卖店销售．9.（2022沈阳一模）（12分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：56\n7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）答案：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，∴（1≤x≤6，且x取整数）。根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：，解得：。∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。（2）当1≤x≤6，且x取整数时：56\n=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。∵a=﹣1000＜0，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。当7≤x≤12时，且x取整数时：W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。∴a≈57。答：a整数值是57.10.（2022沈阳一模）（14分）如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B.（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD,求△ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.56\n答案：（1）由题意可设抛物线的表达式为.∵点C在抛物线上，∴，解得.∴抛物线的表达式为，即（2）令，即，解得，∴.设BC的解析式为将代入得，解得.[来@源%:&中国*教~育出版网]∴直线BC的解析式为当时，，∴.所以－－[来&%源:中教网@~^](1)假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，∵△BCO是等腰直角三角形，则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EF∥OC得∠DEF=45°，故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点56\n25.点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO，所以DF所在的直线为由，解得将代入，得，∴将代入，得，∴26.当D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO.∵点D在对称轴上，∴DA=DB，∵∠CBA=45°，∴∠DAB=45°,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,故点Ｆ在直线AD上．设直线AD的解析式为将代入得：，解得，所以直线AD的解析式为，由，解得。将代入，得，∴将代入，得，∴.综上所述，点E的坐标可以是，，[来@源&:中*国教育出11、（2022浙江省宁波模拟题）(本小题满分14分)如图，抛物线（a0）与反比例函数的图像相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求反比例函数的解析式（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；56\n（3）求抛物线的解析式；（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O顺时针旋转90º，请在图②中画出旋转后的三角形△A1OB1，并直接求出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.12.(本小题满分14分)解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.………………………………………2分（2）设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.直线AB的解析式为y=-x+…………………………………………4分（3）直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得所以抛物线的解析式为y=x2+3x………………4分（4）画出图形………………………………………………2分点的坐标是（8，），或（2，）………………2分13、(2022年江苏南京一模)（8分）某批发商以每件50元的价格购进500件T恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．56\n（1）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤可能亏本吗？请建立函数关系进行说明；（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？答案：解：（1）解法一：设第一个月单价降低x元，批发商销售完这批T恤获得的总利润为y元．1分根据题意，得y＝(70－50－x)(200＋10x)＋(40－50)×[500－(200＋10x)]＝－10x2＋100x＋1000．4分批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）方法一：当x＝17（或18或19）时，y＜0．5分方法二：当y＝0时，x＝5＋5（负根舍去）．又因为当5＋5＜x＜20时，y随x的增大而减小，所以当x＝17或18或19时，y＜0．5分解法二：设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元．1分根据题意，得y1＝(70－50－x)(200＋10x)＝－10x2＋4000，3分y2＝(40－50)×[500－(200＋10x)]＝100x－3000．4分批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）方法一：当x＝17（或18或19）时，y1＋y2＜0．5分方法二：当y1＋y2＝0时，x＝5＋5（负根舍去）．又因为当5＋5＜x＜20时，y1＋y2随x的增大而减小，所以当x＝17或18或19时，y1＋y2＜0．5分（2）设第一个月单价降低x元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．根据题意得－10x2＋100x＋1000＝1000．6分解这个方程，得x1＝0，x2＝10．从增加销售量的角度看，取x＝10．7分答：第一个月单价降低10元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．8分14、(2022年江苏南京一模)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）若每个月的利润为2200元，求每件商品的售价应定为多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？答案：解：（1）y＝（210－10x）（50＋x－40）＝－10x2＋110x＋2100．……………………2分（其中0＜x≤15，且x为整数）………………………………………3分（2）当y＝2200时，－10x2＋110x＋2100＝2200，解得x＝1或10．………………………………………5分当x＝1时，50＋x＝51；当x＝10时，50＋x＝60．56\n所以每件商品的售价应定为51元或60元．………………………………6分（3）y＝－10x2＋110x＋2100＝－10（x－5.5）2＋2402.5．因为－10＜0，所以当x＝5.5时，y有最大值2402.5．………………………………7分因为0＜x≤15，且x为整数，当x＝5时，y＝2400，此时，50＋x＝55；……………………………………8分当x＝6时，y＝2400，此时，50＋x＝56；……………………………………9分所以当售价定为55元或56元，每个月可获得最大利润，最大利润是2400元．……………………………………………………………10分15、(2022年江苏南京一模)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元.为了促销，决定凡是购买件以上的，每多买一件，售价就降低0.10元（例如，某人买20件，于是每件降价0.10×(20－10)=1元，就可以按59元／件的价格购买），但是最低价为55元／件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费1.6元/件．（1）求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？（2）写出当一次出售x件时（x＞10），利润y（元）与出售量x（件）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了47件，另一位顾客买了60件，结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价55元／件至少要提高到多少？为什么？答案：（1）设顾客一次至少购买x件，则60－0.1（x－10）=55，解得x=60．……（3分）（2）当10＜x≤60时，y=［60－0.1（x－10）－50］x－1.6x=－0.1x2+9.4x；…（5分）当x＞60时，y=（55－50－1.6）x=3.4x．……………………………………（6分）（3）利润y=－0.1x2+9.4x=－0.1（x－47）2+220.9，……………………………（7分）因为当x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而减少。要想卖的越多赚的越多，即随的增大而增大，由二次函数性质可知，x≤47，………………………………………………（8分）所以当x=47时，最低售价应定为60－0.1（47－10）=56.3元．…………（10分）16、(2022年江苏南京一模)(7分）某商场以每个40元的进价购进一批篮球，如果以每个50元销售，那么每月可售出200个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．24.假设销售单价提高x元，那么销售1个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个；(用含x的代数式表示)25.篮球的售价定为多少元时，每月销售这种篮球的利润最大？最大利润是多少？答案：解：（1）(10＋x)，200－10x；……………………3分（2）设每月销售利润为w元，w＝(10＋x)(200－10x)＝－10x2＋100x＋2000，……………………5分当x＝5时，w＝2250元，50＋5＝55．答：当售价定为55元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润是2250元．……………………7分56\n17、(2022年江苏南京一模)（9分）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率．例如，对于函数y＝3x＋1，当自变量x增加1时，因变量y＝3(x＋1)＋1＝3x＋4，较之前增加3，故函数y＝3x＋1的平均变化率为3．（1）①列车已行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）的函数关系式是s＝300t，该函数的平均变化率是▲；其蕴含的实际意义是▲；②飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行的时间x（s）的函数关系式是y＝－1.5x2＋60x，求该函数的平均变化率；（2）通过比较（1）中不同函数的平均变化率，你有什么发现；（3）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过第一象限内的三点A、B、C，过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，AM⊥BE，垂足为M，BN⊥CF，垂足为N，DE＝EF，试探究△AMB与△BNC面积的大小关系，并说明理由．xOyABCDEFMN（第5题）答案：解：（1）①300；列车的速度．②该函数的变化率为：－1.5(x＋1)2＋60(x＋1)－[－1.5x2＋60x]＝－3x＋58.5．…………4分（2）一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量．（仅从匀速和变速角度出发，得1分）………………………………………………6分（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x轴，∴∠ADE＝∠DEM＝∠EMA＝90°，∴四边形ADEM为矩形，∴AM＝DE．同理可得BN＝EF．∵DE＝EF，∴AM＝BN．设DE＝EF＝n(n＞0)，当x增加n时y增加了w．则w＝a(x＋n)2＋b(x＋n)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2anx＋an2＋bn∵该二次函数开口向上，∴a＞0．又∵n＞0，∴2an＞0．∴w随x的增大而增大．即BM＜CN．∵S△AMB＝AM·BM，S△BNC＝BN·CN，∴S△AMB＜S△BNC．……………………………………………………9分18、（本题12分）我县绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力．外贸商胡经理按市场价格10元/千克在我县收购了6000千克蘑菇存放入冷库中．请根据胡经理提供的预测信息（如右图）帮胡经理解决以下问题：（1）若胡经理想将这批蘑菇存放x天后一次性出售，56\n则x天后这批蘑菇的销售单价为▲元，这批蘑菇的销售量是▲千克；（2）胡经理将这批蘑菇存放多少天后，一次性出售所得的销售总金额为100000元；(1)蘑菇的市场价格每天每千克上涨0.1元；(2)平均每天有10千克的蘑菇损坏不能出售；(3)冷库存放这批蘑菇时每天需要支出各种费用合计240元；(4)蘑菇在冷库中最多保存110天．（销售总金额＝销售单价×销售量）．（3）将这批蘑菇存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）………………4分（2）……………………1分化简得解得x1=100，……………1分x2=400(舍去)……………1分胡经理销售将这批蘑菇存放100天后，一次性出售所得的销售总金额达到100000元．……………1分（3）设最大利润为，由题意得，……………2分56\n∵x≤110，∴当=110时，W最大值＝16500……………1分答：存放110天后出售这批香菇可获得最大利润16500元．……………1分19.如图，在中，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．AEDBC(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？解：（1），．．（2分）又，，，，．．（5分）自变量的取值范围为．（5分）（2）S．（8分）当时，有最大值，且最大值为．（10分）（或用顶点公式求最大值）20.2022年十一黄金周，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出;当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x（x≤20）辆车时,日收益为y元.（日收益=日租金收入－平均每日各项支出）（1）公司每日租出x（x≤20）辆车时,每辆车的日租金增加为_______元；此时每辆车的日租金为__________元.（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大？是多少元？解 ;（1）50(20－x),1400－50x………………4分（2）y＝x(－50x+1400)－4800＝－50x2+1400x－4800＝－50(x－14)2+5000.………………10分当x＝14时,在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.∴当日租出14辆时,租赁公司的日收益最大，为5000元.21.56\n已知矩形ABCD的周长为12，E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）根据(1)中的函数关系式,计算当x为何值时，y最大，并求出最大值.（参考公式：当x=-时，二次函数y=ax+bx+c(a≠o)有最小(大)值）解：（1）y=-x2+3x（2分）（2）∵a=-<0∴y有最大值∴当x=-=-=3时（2分）y有最大值为==4.5（2分）22、（2022杭州江干区模拟）（本小题10分）3月17日，新成立的中国铁路总公司已在北京正式挂牌，这标志着今后铁路将会进行一系列的客票改革．现某市铁路局拟实施淡季火车票打折销售制度．已知某班次列车一节车厢定员120人，原定票价为100元/人，淡季时上座率仅为20%．据调查，该列车票价每降低5元，单节车厢乘客人数将增加6人．(1)该列车票价打几折时，单节车厢售票收入为4200元；(2)该列车票价打几折时，单节车厢售票收入最高，并求出这个最高值．【答案】解：（1）设降低5x元，增加6x人，得2分解得x1=6,x2=102分所以打7折或5折1分（2）设收入W==，3分当x=8即打6折时，收入最高为4320元2分23、（2022河南南阳市模拟）(11分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．56\n第23题图【答案】23、解：（1）A（1，4）．…（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．…∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．MCBOA23题（3）t=或t=20﹣8．…24、（2022云南勐捧中学二模）（本小题9分）如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．（1）线段的长为，点的坐标为；（2）求△的面积；（3）求过，，三点的抛物线的解析式；（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．56\n【答案】解：（1）4；.（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，∵∥∴△OAM∽△BCM）又∵OA=2BC∴AM＝2CM，CM＝AC所以（注：另有其它解法同样可得结果）（3）设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点,,.所以 解这个方程组，得，，所以抛物线的解析式为（4）∵抛物线的对称轴是CD，①当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点；②当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以.同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.综上所述，点F的坐标为，.25.(2022年广东省佛山市模拟)（原创）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点A、B，M是抛物线上一个动点，连接OM。（1）当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积；（2）当点M在抛物线上，△OMB的面积为10时，求点M的坐标；（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，△OMB56\n的面积最大；_M_A_B_O_x_y26、(2022北仑区一模)26.(本题14分)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S56\n是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。-------------------------1分∵顶点在直线x＝上，∴，解得。--------------------------------2分∴所求函数关系式为。------------------------------------------------------3分（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。----------------------------------------------5分∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x＝5时，；当x＝2时，。∴点C和点D都在所求抛物线上。--------------------------------------------------------------7分（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。--------------9分当x＝时，。∴P()。------------------------------------------------------10分（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。∴，即，得。设对称轴交x于点F，则56\n∵，，(0＜t＜4)。--------------------------------------------------------------------------------------------12分∵，，0＜＜4，∴当时，S取最大值是。-------------------------------------------13分此时，点M的坐标为(0，)。------------------------------------------------14分27、（2022浙江台州二模）22．如图是一种新型滑梯的示意图，其中线段PA是高度为6米的平台，滑道AB是函数的图象的一部分，滑道BCD是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且点B到地面的距离为2米，当甲同学滑到点C时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE也为1米.（1）试求滑道BCD所在抛物线的解析式；（2）试求甲同学从点A滑到地面上点D时，所经过的水平距离.【答案】22．解：（1）依题意，设B点坐标为（x，2），代入得x=5滑道BCD所在抛物线的解析式为（2）甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为DCEAPBO56\n28、（2022浙江台州二模）24．如图，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．(1)求直线l的函数解析式；(2)求点D的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)配方,得y=(x–2)2–1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1)．取x=0代入y=x2–2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有解得∴直线l的解析式为y=x–3．……4分(2)连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2．据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，∴AE=，AD=2AE=．作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，∴AF=·AC=，DF=·O′A=，又∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–=–，∴点D的坐标为(，–)．……4分(3)显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC=S△DPB．故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．56\n容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．令x2–2x＋1=x–，解得x1=2，x2=，代入y=x–，得y1=–1，y2=，所以抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC=S△DPB．……6分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣2分)29、(2022浙江永嘉一模)(1)蘑菇的市场价格每天每千克上涨0.1元；(2)平均每天有10千克的蘑菇损坏不能出售；(3)冷库存放这批蘑菇时每天需要支出各种费用合计240元；(4)蘑菇在冷库中最多保存110天．23．（本题12分）我县绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力．外贸商胡经理按市场价格10元/千克在我县收购了6000千克蘑菇存放入冷库中．请根据胡经理提供的预测信息（如右图）帮胡经理解决以下问题：（1）若胡经理想将这批蘑菇存放x天后一次性出售，则x天后这批蘑菇的销售单价为▲元，这批蘑菇的销售量是▲千克；（2）胡经理将这批蘑菇存放多少天后，一次性出售所得的销售总金额为100000元；（销售总金额＝销售单价×销售量）．（3）将这批蘑菇存放多少天后一次性出售可获得最大（第23题图）利润？最大利润是多少？【答案】解：（1）………………4分（2）……………………1分化简得解得x1=100，……………1分x2=400(舍去)……………1分胡经理销售将这批蘑菇存放100天后，一次性出售所得的销售总金额达到100000元．……………1分（3）设最大利润为，由题意得56\n，……………2分∵x≤110，∴当=110时，W最大值＝16500……………1分答：存放110天后出售这批香菇可获得最大利润16500元．……………1分30(2022浙江永嘉一模)24．（本题14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，……2分（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3－t，由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分，…………2分.…………1分图②(3)①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，则，，∴PO=AO－AP=1．由△APE∽△OPQ，得．……2分②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP56\n∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°∴∠PBC＝∠PCBCP＝BP＝AP＝t∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5．………2分（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，得,BG＝4－=由勾股定理得，即，解得．………2分31、（2022重庆一中一模）26．已知矩形纸片ABCD中，，将该矩形纸片沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图1），再将这两张三角形纸片摆成如图2的形状，使得点B、C、F、D在同一直线上，且点C与点F重合．此时将△ABC以每秒1个单位长度的速度沿直线BD向左平移，直至点B与点D重合时停止运动．设△ABC运动的时间为t，（1）当t为何值时，点E落在线段AC上？（2）设在平移的过程中△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相对应t的取值范围；（3）当点B与点D重合时如图3，将△ABC绕点B旋转得到△A1BC1，直线EF分别与直线A1B、直线A1C1交于点M、N，是否存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段EM的长度；若不存在，请说明理由．【答案】56\n32.解：（1）由题意知，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠CAB=∠DFE=30°当点E落在AC上时，∠DCE=60°∴CD=DE，即，∴................2分（2）.................8分（3）存在这样的点M、N，理由如下：如下图，由题意得△A1MN∽△FMB，即当△A1MN为等腰三角形时，△FMB也为等腰三角形．三、当A1M=A1N时，即FB=FM=6，若点M在线段EF上时，EM=；若点M在线段EF的延长线上时，EM=．四、当MA1=MN时，即MB=MF，则点M在线段BF的中垂线上，过M作MT⊥BF于点T，则BT=FT=3，∴MT=,MF=,∴EM=EF-MF=．③．当NA1=NM时，即BM=BF=6，此时点M在线段FE的延长线上，∠BMF=∠BFM=30°，可得MF=，则EM=MF-EF=．∴综上所述，存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形，此时线段EM的长度为或..............12分33.（2022上海黄浦二摸）56\n（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知二次函数的图像经过点P（0,1）与Q（2,-3）.（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA.答案：24．解：（1）由题意知，------------------------------------------------------（2分）解得，----------------------------------------------------------------------------（1分）所以二次函数解析式是.-----------------------------------------------（1分）（2）①设，则.-------------------------------------------（1分）由四边形ABCD为正方形.得，---------------------------------------------------------------------（1分）解得（舍负），---------------------------------------------------------（1分）所以正方形ABCD的面积为.-------------------------（1分）②设AB交y轴于点H.则,，所以，∠DOP=∠AHP.所以△DOP∽△AHP，----------------------------------------------------------------（2分）则∠DPO=∠HAP，又∠DPO=∠PDA，所以∠PDA=∠HAP，又∠DPA=∠APE，所以△PAD∽△PEA.-------------------------56\n-----------------------------------------（2分）34．（2022年上海静安区二摸）（本题满分14分，每小题满分7分）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图像上，点C在轴上，BC//轴，，二次函数的图像经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；ACBOxy（2）如果点D在轴的正半轴上，点E在反比例函数的图像上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．答案：（第25题图）35．解：（1）设反比例函数的解析式为．∵点A（2，6）在反比例函数的图像上，∴6=，………………………（1分）∴，∴反比例函数的解析式为．……………………………（1分）作AM⊥BC，垂足为M，交轴于N，∴CM=2．在Rt△ACM中，．………………………（1分）∵BC//轴，OC=AN–AM=6–4=2，∴点C的坐标（0，2）．……（1分）当时，，∴点B的坐标（6，2）．………………………………（1分）56\n设二次函数的解析式为，………………（1分）∴∴二次函数的解析式为．………………（1分）（2）延长AC交轴于G，作EH⊥轴，垂足为H．……………………………（1分）∵在□ACDE中，AC//DE，∴∠AGO=∠EDH．……………………………（1分）∵BC//轴，∴∠ACM=∠AGO．∴∠ACM=∠EDH．………………………（1分）∵∠AMC=∠EHD=90º，AC=ED，∴△ACM≌△EDH．……………………（1分）∴EH=AM=4，DH=CM=2．∴点E（3，4）．…………………………………（1分）∴OE=3，OD=OE–DH=1．……………………………………………………（1分）∴CD=．………………………………………（1分）36．（2022年上海闵行区二摸）（本题共3小题，满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴相交于点A，二次函数的图像经过点A、B（1，0），D为顶点．Axy-1-33O（第24题图）（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移，使点D的对应点C在一次函数的图像上，求平移后所得图像的表达式；（3）设点P在一次函数的图像上，且，求点P的坐标．答案：24．解：（1）由，得．∴点A的坐标为A（0，3）．………………………………………（1分）∵二次函数的图像经过点A（0，3）、B（1，0），∴……………………………………………………（1分）56\n解得∴所求二次函数的解析式为．……………………（1分）顶点D的坐标为D（-1，4）．…………………………………………（1分）（2）设平移后的图像解析式为．根据题意，可知点C（-1，k）在一次函数的图像上，∴．…………………………………………………………（1分）解得．……………………………………………………………（1分）∴所求图像的表达式为或．……（1分）（3）设直线与x轴交于点E．由（2）得C（-1，2）．又由A（0，3），得．根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．∵△ABP与△ABC同高，于是，当时，得．……………（1分）此时，有两种不同的情况：（ⅰ）当点P在线段CA的延长线上时，得，且．过点P作PQ1垂直于x轴，垂足为点Q1．易得．∴．解得．即得∴P1（2，5）．………………………………………………………（2分）（ⅱ）当点P在线段AC的延长线上时，得，且．过点P作PQ2垂直于x轴，垂足为点Q2．易得．∴．解得．即得．∴P2（-2，1）．………………………………………………………（2分）综上所述，点P的坐标为（2，5）或（-2，1）．另解：（3）由（2）得C（-1，2）．又由A（0，3），得．根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．∵△ABP与△ABC同高，于是，当时，得．……………（1分）∴．即得．………………………………………（1分）解得，．………………………………………………（1分）∴m+3=5或1．……………………………………………………（1分）∴点P的坐标为（2，5）或（-2，1）．……………………………（1分）37．（2022年上海徐汇区二摸）（本题满分12分56\n抛物线（）经过点，对称轴是直线，顶点是，与轴正半轴的交点为点．（1）求抛物线（）的解析式和顶点的坐标；（6分）（2）过点作轴的垂线交轴于点，点在射线上，当以为直径的⊙和以为半径的⊙相切时，求点的坐标．（6分）答案：24．解：（1）由题意，得，…………………………………………………（2分）解得……………………………………………………………（2分）∴………………………………………………………（1分）∴顶点．…………………………………………………………（1分）（2）设⊙的半径为．由题意，可得，，∴⊙的半径为；；……（2分）当⊙和⊙相切时，分下列两种情况：当⊙和⊙外切时，此时点在线段上，可得．解得，∴．……………………………………………（2分）当⊙和⊙外切时，此时点在线段的延长线上，可得．解得，∴．…………………………………………（2分）综合，当⊙和⊙相切时，或．38、（2022辽宁葫芦岛一模）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为等腰直角三角形，直角边长（单位：cm）在10~60之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm256\n）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的直角边长成正比例，在营销过程中得到了下面表格中的数据．薄板的直角边长（cm）2050出厂价（元/张）100220（1）求一张薄板的出厂价与直角边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张直角边长为20cm的薄板，获得的利润是80元（利润=出厂价-成本价）.①求一张薄板的利润与直角边长之间满足的函数关系式；②当直角边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少参考公式：抛物线的顶点坐标是解：依题意，设等腰直角三角形薄板的直角边长为，则，(10＜＜60)，则………………3分（1）在(10＜＜60)中，时，；时，∴,∴,∴(10＜＜60)；………………5分（2），且时，，∴解得：，∴；………………7分（3）在中，由参考公式，，且(10＜40＜60),所以，出厂一张直角边长为40cm的薄板获得的利润最大，最大利润是（元）.………………10分39、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；56\n（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－56\n解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=yBACOHxE2E1E3D∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分40、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．56\n解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE56\n=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）41、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．ABCDEMFN第21题图备用图(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分56\n∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，ABCDEMFN∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分42、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(14分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．(1)求抛物线解析式；56\n(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；(3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．ABCOxy第22题图ABCOxy备用图解：(1)由题意，得：…………1分解得：．…………3分∴这个抛物线的解析式为y＝x2－x＋2．…………4分(2)解法一：图1如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝∵B(4，0)，C(0，2)，∴CO＝2，BO＝4，∴MF＝1，BF＝2，∴M(2，1)………………5分∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)．………………6分设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：，解得：∴直线DE的解析式为y＝2x－3．………………8分解法二：如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．56\n∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，CM＝BM．设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，图2在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)．………………5分∴BN＝4－＝．∵CF∥x轴，∴∠CFM＝∠BNM．∵∠CMF＝∠BMN，∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．图3∴F(，2)．…………………6分设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：，解得：．∴直线DE的解析式为y＝2x－3．………………8分(3)由(1)得抛物线解析式为y＝x2－x＋2，∴它的对称轴为直线x＝．图4①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(，2)，以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，则∠CP1B＝∠CAB．…………9分GA＝＝，∴点P1的坐标为(，－)．…………10分②如图4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，∴G、N关于直线BC对称．…………11分∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．…………12分⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B＝∠CAB．…………13分设对称轴与x轴交于点H，则NH＝－＝1．∴HP2＝＝，56\n∴点P2的坐标为(，)．综上所述，当点的坐标为(，－)或(，)时，∠CPB＝∠CAB．………14分43、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.56\n∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).44、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分10分）我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理.当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）（年利润=年销售量―生产成本―投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该公司希望到第二年的年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842万元，请你确定此时销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？答案：解：（1）即y=－0.08x+28（100＜x≤200）（2）W=（x－40）（－0.08x+28）―480―1520=－0.08x2+31.2x－3120=－0.08（x－195）2－7856\n∵100＜x≤200∴当x=195时，第一年最少亏损78万元。（3）依题意得（x－40）（－0.08x+28）―78=1842∴解之得x1=190x2=200∵a＜0，∴销售单价的范围为：190≤x≤200∵k=－0.08＜0，∴y随x增大而减小，∴要使销量最大，售价要最低，即x=190元45.（2022年吉林沈阳模拟）（12分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．56\n（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）答案：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，∴（1≤x≤6，且x取整数）。根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：，解得：。∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。（2）当1≤x≤6，且x取整数时：=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。∵a=﹣1000＜0，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。当7≤x≤12时，且x取整数时：W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。∴a≈57。答：a整数值是5756\n46.（2022年江苏东台第二学期阶段检测）（12分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．答案：28.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点∴，解得。∴抛物线的解析式为。（2分）（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BD•BC，在中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）。∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。∴。∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2∴，即。∵BP2=BD•BC，∴，解得x1=，x2=﹣2（不合题意，舍去）。∴点P的坐标是（，0）。∴当点P运动到（，0）时，BP2=BD•BC。（7分）（3）∵△BPD∽△BAC，∴∴，又∵，56\n∴。∵＜0，∴当x=1时，S△BPC有最大值为3。∴点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大。（12分）47．(2022年江苏无锡崇安一模）（本题满分10分）如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，OA＝5，AB＝2．点E在线段OC上，作∠MEN＝∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．AOyBCxEFMN答案：27.（共10分）（1）抛物线中，AB∥OC，由对称性可知有等腰梯形AOCB.而OA＝5，AB＝2，OC＝8则A（3，4），B（5，4）………………………………………(1分)抛物线的解析式是y＝－x2＋x……………………………(2分)（2）可以证明△AOE∽△ECF……………………………………………………(3分)则＝，不妨设E（x，0），其中0≤x≤8，由＝，整理得x2－8x＋12.5＝0，解得x＝…………………(4分)从而点E的坐标为（，0）…………………………………………(5分)（3）由(2)中相似还可知AO:EC＝AE:EF，若△AEF为等腰三角形，则有三种可能.①当EA＝EF时，有EC＝AO＝5，∴E（3，0）…………………………(7分AOyBCxEFMNH②当AE＝AF时，作AH⊥EF于H，有AE:EF＝5:6∴EC＝AO＝6，∴E（2，0）……(9分)③当FA＝FE时，同理可得AE:EF＝6:5∴EC＝AO＝，∴E（，0）……(10分)综上所述，符合要求的点E有三个.56\n48.(2022珠海市文园中学一模）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．设抛物线的解析式为：，∵抛物线经过点A′、B′、B，，解之得，满足条件的抛物线的解析式为.．（3分）（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足．连接PB，PO，PB′，.假设四边形的面积是面积的倍，则，即，解之得，此时，即.∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（4分）49．（2022年广西钦州市四模）如图12，把抛物线56\n（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.（1）分别写出抛物线与的解析式；（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.图12（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.解：（1）（或）；………………………………（1分）（或）；………………………………（2分）（2）以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………（3分）理由：点与点，点与点关于轴对称，轴.①当点是的对称轴与的交点时，点、的坐标分别为（1，3）和（1，3），而点、的坐标分别为（）和（1，1），所以四边形是矩形.………………………………………………………………………………………56\n（4分）②当点不是的对称轴与的交点时，根据轴对称性质，有：（或），但四边形（或四边形）是等腰梯形.…………………………………（5分）（3）存在.设满足条件的点坐标为，连接依题意得：，.……………………………………………………………（6分）①当时，…………………………………………………………………………………（7分）将代入的解析式，解得：，……………………………………………………………（8分）②当时，………………………………………………………………………………（9分）将代入的解析式，解得：，……………………………………（10分）50．（2022年广西梧州地区一模）某商场以每件50元的价格购进一种商品．销售中发现这种商品每天的销售量M（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数，且x=60时,M=40;x=80时,M=20．（1）求M与x之间的函数关系式。（2）若该商场每天销售这种商品获利y（元），求y与x之间的函数关系式.（3）根据物价部门规定，这种商品的销售单价不得高于70元，如果想要每天获得的利润不低于400元，求销售单价的取值范围.解：（1）设M=kx+b56\n由题意得：解这个方程组得，所以M=-x+100…………………3分（2）由题意，得：Y=(-x+100)(x-50)=-+150x-5000……………6分(3)由题意得，解这个不等式组得，60≤x≤70所以销售价格的范围是60≤x≤70…………10分51．（2022年广西梧州地区一模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EF∥BC交AC于F，再过F作FD∥AB交BC于D，设E移动的时间为x(秒),EF为y.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）当x=时，四边形BDFE是菱形.（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积是多少？解：（1）∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴∴……………3分（2）………………5分（3）在△ABC中∵AB=6，AC=8，BC=10∴AB2+AC2=BC2∴∠BAC=90°作EG⊥BD于G在△ABC和△GBE中56\n∠ABC=∠GBE∠BAC=∠BGE∴△ABC∽△GBE∴∴∴………………8分∴=……………………10分∴当x=1.5时，S的最大值为12此时2x=3当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，最大面积值为12…………………………12分52．（2022年杭州拱墅区一模）如图，在Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB－BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动.设移动时间为x秒：（1）当x＝2时，求△AEF的面积；（2）当EF∥BO时，求x的值；（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.（解：1）当x＝2时，AE＝2，OF＝6，∴S△APQ＝6--------------------------------------------3分（2）∵Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，∴AB＝10当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，∴，解得------------------------3分56\n（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：①0＜x≤时，F在OB上移动，--------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，则即，∴FH＝∴＝-----------------------------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）53．（2022年杭州拱墅区一模）如图，已知抛物线的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点M（0，），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S△PQR的最大值.解：（1）由顶点B（3，）及抛物线过原点O，∴解得----------------2分∴A点坐标为（6，0）-----------------------------------------------------------------1分（2）过B作BC⊥x轴于点C，Rt△OCB中，tan∠OBC＝，∴∠OBC＝60°,∴∠OBA＝120°,△AOB是顶角为120°的等腰三角形，当点Q在x轴下方时，必与点B重合（舍去全等情况），∴当Q在x轴上方时，过Q作QD⊥x轴，∵△QAO∽△AOB，∴必有OA＝AQ＝6，且∠OAQ＝120°，∴∠QAD＝60°，∴AD＝3，QD＝3,∴Q（9，3）----------------------------2分56\n∵Q（9，3）满足，∴Q在抛物线上，-------------------------1分根据对称性Q2(也满足条件，∴符合条件的Q点有两个：Q1（9，3）、Q2(-------------------1分（3）将M（0，）、Q1（9，3）代入，得直线QR的解析式为，求与抛物线的交点R：令解得，（即Q点舍去），∴R（－1，）--------------------------------------1分设P点在直线QR下方且在抛物线上，则P（x,）,过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x,则S△PQR＝S△QPK＋S△RPK＝PK（＝[―（）]×10＝―当x＝4时，S△PQR最大＝----------------------------------------------------------------------1分∴点P的坐标为（4，）------------------------------------------------------------------------1分同理过Q2(、M的直线交抛物线R2，在Q2R2下方抛物线取点P2，解得P2（0,0），S△PQR最大＝3---------------------------------------------------------------2分54．（2022年唐山市二模）如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．⑴求抛物线的函数表达式；⑵求直线BC的函数表达式；⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．56\n①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．BAOCD11x=1xy第26题图第26题图备用图BAOCD11x=1xy解：⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴∴b=－2．∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），∴c=－3，∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2－2x－3=0．∴x1=－1,x2=3.∵A点在B点左侧，∴A（－1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y=x－3．⑶①∵AB=4，PO=AB，∴PO=3∵PO⊥y轴∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，∴P（，）56\nBAOCD11x=1xyEFPQG∴F（0，），∴FC=3－OF=3－=．∵PO垂直平分CE于点F∴CE=2FC=∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=－1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1－，－2），P2（1－，）56
