相似的应用一、选择题1、（第10题）10．如图，△ABC中，点DE分别是ABC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有【】（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个答案：AABOCD（第4题）2、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O点，∠BAD=35°,∠BOD=76°，则∠C的度数是（）A．31° B．35°C．41°D．76°答案：C3、平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D4、（2022年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知；甲的路线为：A®C®B。乙的路线为：A®D®E®F®B，其中E为AB的中点。丙的路线为：A®G®H®K®B，其中H在AB上，且AH>HB。若符号「®」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（）(A)甲=乙=丙(B)甲<乙<丙(C)乙<丙<甲(D)丙<乙<甲ABCABDABGI50°EF60°70°50°60°70°50°60°70°50°60°70°50°60°70°HK图(1)图(2)图(3)答案：A11\n5、（2022广西贵港）小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶A．B．C．D．答案：A二、填空题1、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.第1题图此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.答案：72、[淮南市洞山中学第四次质量检测，12,5分]将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为 答案：3、（杭州市2022年中考数学模拟）已知△ABC与△DEF相似且相似比为3︰5，则△ABC与△DEF的面积比为．答案：9︰25；4、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM＝或CM＝；ABCDEO5、（2022年，瑞安市模考）如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为．答案:11\n6、(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿（第1题）做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.答案15.7三、解答题1、（海南省2022年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；ABOC-11yx第24题图（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。答案：解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）(x-3)…………2分yABOC-11x第24题图PD又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴-3=a（0+1）(0-3)∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，即y=x2-2x-3…………………………4分（2）依题意，得OA=1,OB=3,∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3…………………………………8分（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P。…9分解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。…………11分设直线BC的解析式为y=kx-3,将B（3，0）代入得3k-3=0∴k=1。∴y=x-3∴当x=1时，y=-2.∴点P的坐标为（1，-2）……………13分11\n解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。…………11分∵OC∥DP∴△BDP∽△BOC。∴即∴DP=2……12分∴点P的坐标为（1，-2）………………………………………………13分2、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）（本题满分14分）如图12，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM=∠CAH；（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________.MABCDH（图12）解：（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，又∵M是边AC的中点，∴AM=MC=BC=1，——————————————————（1分）∴MB=，————————————————（1分）又CH⊥BM于H，则∠MHC=，∴∠MCH=∠MBC，——————————————————（1分）∴sin∠MCH=.————————————————（1分）（2）在△MHC中，.———————（1分）∴AM2=MC2=，即，————————（2分）又∵∠AMH=∠BMA，∴△AMH∽△BMA，——————————————————（1分）∴∠ABM=∠CAH.——————————————————（1分）11\n（3）、、.—————————————————（5分）3．（2022年江苏南通三模）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.（1）如图①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为.第1题图图①图②图③（2）不改变①中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图③摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n的代数式表示）答案：27．（1）180cm．（2）12cm．（3）记灯泡为点P，如图∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得11\n设灯泡离地面距离为由题意，得PM=，PN=AD=，A′D′=，∴4、（2022江苏无锡前洲中学模拟）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？（第1题图1）1COEDBA（备用图）1COEDBARPQCOEDBA（第1题图2）答案：（1）菱形（证明略）---------------3分HC图②ABDMFEGK（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝S△QEO，∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED（第28题1）PQCHROEDBA＝×BE×ED＝×8×6＝24.---------------6分（第28题2）PQCROEDBA132G11\n②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2＝∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.---------------10分5.（2022荆门东宝区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．AA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3（第2题图）(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？答案：（1）易求得,,因此得证.(2)易证得∽,且相似比为，得证.（3）120°，（当E,C,P三点在一条直线上时，即可求解）6、（2022山东省德州一模）一天晚上，身高1.6米的张雅婷发现：当她离路灯底脚（B）12米时，自己的影长（CD）刚好为3米，当她继续背离路灯的方向再前进2米（到达点F11\n）时，她说自己的影长是(FH)5米。你认为张雅婷说的对吗？若她说的对，请你说明理由；若她说的不对，请你帮她求出她的影长(FH).第21题图答案：解：张雅婷说的不对…………1’如图，∵AB⊥BD,GC⊥BD∴GC∥AB∴△DGC∽△DAB∴……5’解之得：AB=8………………………7’同理可证：…………9’解之得：HF=3.5……………………………………………11’即张雅婷再继续沿背离灯光的方向前进2米，她的影长应为3.5米……………12’相似的应用一、选择题1、（2022吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则S△AOD：S△BOC等于（）1题图A.B.C.D.答案：D2、(2022山西中考模拟六)如图，是的中位线，则与的面积之比是（）BACEDA．1:1B．1:2C．1:3D．1:4答案：D二、解答题1、（2022江苏射阴特庸中学）如图，AB是⊙O的直径，点A、11\nC、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O的半径为，AC=2，BE=1时，求BP的长.答案：(1)直线BP和⊙O相切.……1分理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分∵PF∥AC,∴BC⊥PF,则∠PBH+∠BPF=90°.……3分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分所以直线BP和⊙O相切.……5分(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=2,∴BC=4.……6分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分∴=,解得BP=2.即BP的长为2.……10分2、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分11\n大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、(2022年河北三摸)如图，梯形是一个拦河坝的截面图，坝高为6米．背水坡的坡度i为1∶1.2，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶加宽0.8米，新的背水坡的坡度为1∶1.4．河坝总长度为4800米．（1）求完成该工程需要多少方土？（2）某工程队在加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍，结果只用9天完成了大坝加固的任务。请你求出该工程队原来每天加固的米数.CDEAFB第22题图答案：（本小题满分8分）解：（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H．∵CD∥AB,∴EH=DG=6米,∵,∴AG=7.2米，……………1分∵,∴FH=8.4米，………………2分∴FA=FH＋GH－AG=8.4+0.8－7.2=2（米）…………3分∴SADEF=.V=8.4×4800=4032（立方米）.……………………………………4分（2）设原来每天加固x米，根据题意，11\n得：去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400）解得．检验：当时，（或分母不等于0）．∴是原方程的解．答：该工程队原来每天加固300米……………………………8分11
