综合型问题一、选择题1、（2022年，瑞安市模考）在函数①②③④中,经过点（1，－1）的函数解析式的个数是()A.4B.3C.2D.1答案：B2.(2022年吴中区一模)如图，在平行四边形ABCD中，BD＝4cm，将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D经过的路径长为(▲)(A)4πcm(B)3πcm（第7题图）ABCDFOGHE(C)2πcm(D)πcm答案：D4.（2022年，广东一模）函数y＝－中自变量x的取值范围是(D)A．x≥0B．x<0且x≠1C．x<0D．x≥0且x≠15.（2022年江苏海安县质量与反馈）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3,0）、B（0,2）、C（3,0）、D（0,－2），四边形ABCD是A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形答案：B.6（2022年江苏沭阳银河学校质检题）下列说法不正确的是（▲）A、为了解宿迁市所有中学生的视力情况，可采用抽样调查的方法B、彩票中奖的机会是1﹪，买100张彩票一定会中奖C、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天D、12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，取到是二等品的概率是答案：B.7、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)下列说法中正确的是()（A）某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖是必然事件；（B）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱EF、棱FG都异面的棱是棱DH；（C）如果一个多边形的内角和等于，那么这个多边形是正五边形；（D）平分弦的直径垂直于这条弦．60\n答案：B8、(2022温州市泰顺九校模拟)下列命题，正确的是()A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=bB.等腰梯形的对角线互相垂直C.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D.相等的圆周角所对的弧相等答案：C9、（2022年山东泰安模拟）函数中自变量x的取值范围是x＞2的是（ ）A．B．C．D．答案：AA．B．C．D．答案：A11、[淮南市洞山中学第四次质量检测，9,4分]如图，边长为4的正方形放置在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，当直线中的系数从0开始逐渐变大时，在正方形上扫过的面积记为．则关于的函数图像是()答案：B12、（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）如右图，正五边形ABCDE中，对角线AC、AD与BE分别相交于点N、M．下列结论错误的是(★)60\nA．四边形NCDE是菱形B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似D．△AEN与△EDM全等答案C13（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）要在一个矩形纸片上画出半径分别是9cm和4cm的两个外切圆，该矩形纸片面积的最小值是（）。A.468B.450C.396D.225答案B14.（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）下列图形中，阴影部分的面积为2的有（ ▲ ）个A．4个B．3个C．2个D．1个答案B、二、填空题ABC·DEyx1、(2022年，辽宁省营口市)在函数中，自变量的取值范围是.答案：x≥-12.(2022年，辽宁省营口市)如图，已知A、B两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是60\n答案：3．（2022年江苏沭阳银河学校质检题）抛物线的顶点是C(2，)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程x2－4x+3=0的两个根，则AB=▲，S△ABC=▲。答案：2,.4、（2022年山东泰安模拟）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S是．（改编）答案：π+2三、解答题1、（杭州市2022年中考数学模拟）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.60\n答案：解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴抛物线解析式为：(2)存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵∴C的坐标为：(0，3)直线BC解析式为：Q点坐标即为的解∴∴Q(－1，2)60\n（3）答：存在。理由如下：设P点∵若有最大值，则就最大，∴＝＝当时，最大值＝∴最大＝当时，∴点P坐标为2.（海南省2022年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。ABOC-11yx第24题图60\n答案：解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）(x-3)…………2分yABOC-11x第24题图PD又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴-3=a（0+1）(0-3)∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，即y=x2-2x-3…………………………4分（2）依题意，得OA=1,OB=3,∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3…………………………………8分（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P。…9分解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。…………11分设直线BC的解析式为y=kx-3,将B（3，0）代入得3k-3=0∴k=1。∴y=x-3∴当x=1时，y=-2.∴点P的坐标为（1，-2）……………13分解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。…………11分∵OC∥DP∴△BDP∽△BOC。∴即∴DP=2……12分∴点P的坐标为（1，-2）………………………………………………13分3．（2022广西贵港）（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（，）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.答案：解：（1）设抛物线为.……………1分∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.……………2分∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交…………………………………………………………………4分60\n证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.…………………5分设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.……6分∴.∴.∴.…………………………7分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………8分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。可求出的解析式为.…………………………………………9分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.……………10分∵,∴当时，的面积最大为.……………11分此时，点的坐标为（3，）.………12分4．（2022年广东模拟）(本小题满12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．60\n答案(本小题满分12分)（1）令，得，即，解得，，所以．令，得，所以．设直线AB的解析式为，则，解得，所以直线AB的解析式为．………3分（第24题）（2）当点在直线AB上时，，解得，当点在直线AB上时，，解得．所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．………4分（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上），解得．①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，此时，，又，所以，从而，．因为，所以当时，．60\n②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，（第24题备用）此时，，又，所以，即．其中当时，．………5分5．（柳州市2022年中考数学模拟试题）（12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.（1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBACPOxyD答案：(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，∴4=3+m.∴m=1.设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴4=a(3-1)2,∴a=1.∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0＜x＜3).(3)存在.解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)60\n∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵直线CE经过点C(1,0),∴0=1+b,∴b=-1.∴直线CE的函数关系式为y=x-1.∴得x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.6、（2022年浙江省杭州市一模）（本题满分10分）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象经过A（0，－2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．第1题解：（1）∵直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0）两点∴，∴∴已知函数的表达式为y＝2x－2．（3分）∴设M（m，n）作MD⊥x轴于点D∵S△OBM＝2，60\n∴，∴∴n＝4（4分）∴将M（m，4）代入y＝2x－2得4＝2m－2，∴m＝3∵M（3，4）在双曲线上，∴，∴k2＝12∴反比例函数的表达式为（5分）（2）存在。（6分）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO∴tan∠PMD＝tan∠MBD＝tan∠ABO＝＝2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD＝2MD＝8，∴OP＝OD＋PD＝11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）7、（2022年浙江省杭州市一模）（本题满分12分）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜60\n，写出探索过程．AHCBy-2MODNxP第2题解：(1)OH＝1；k＝，b＝；（各1分）(2)设存在实数a，是抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)即y＝x2＋x＋（2分）②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．∴E的坐标为(3.5，1.5)把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋（2分）当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋60\n上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．（1分）当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．(1分)当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．（2分）当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．（1分）8、（2022年浙江省金华市一模）（本题满分12分）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(-1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。解：(1)∵平行四边形由旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点的坐标为(3，0)。60\n所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)设抛物线的解析式为，可得解得∴过点C，A，的抛物线的解析式为。(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。∴,又.,∴又,∴,又△ABO的周长为。∴的周长为。（3）连接OM，设M点的坐标为，∵点M在抛物线上，∴。∴==因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。9（2022年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如图1，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．（1）求∠BAC的度数。（2）如图2，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．AFCDEGHBOAOECDB（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长。 60\n图1图2答案：（1）解：连结OB和OC．∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴ 四边形AFHG是正方形． ……（7分）（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴ AD＝12． 10、（2022年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。(1)求C1点的坐标；(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；(4)抛物线上是否存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。60\n解(1)C1(3，)-----------2分(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx把A(2，0)，C`(3，)带入，得解得a＝，b＝－∴抛物线解析式为y＝x2－x-----------------------------------------------5分(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°又AB＝2∴AF＝4∴OF＝2∴F(－2，0)设直线BF的解析式为y＝kx＋b把B(1，)，F(－2，0)带入，得解得k＝，b＝∴直线BF的解析式为y＝x＋----------------------------------8分(4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2当x1＝4时，y＝×42－×4＝；当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝∴M1(4，)，M2(－2，)---------------------11分②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：360\n得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0无实解综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)．---------------14分11、(徐州市2022年模拟)（10分）已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？解：（1）由题意，得解得-----2分∴二次函数的关系式是y=x2－1．-----4分（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．∴⊙P的半径为r=|x|=．---7分（3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，又当x＝0时，y＝－1，∴当y＞0时，⊙P与y相离；当－1≤y＜0时，⊙P与y相交.---------10分12.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分12分）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为▲,点B的对应点C的坐标为▲；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD60\n上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？解(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分13.（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）（本题满分12分）如图11，已知○为坐标原点，∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).(1)求点B的坐标；(2)若二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=.过点B作BD垂直于x轴，垂足为60\nD，则OD=，BD=，∴点B的坐标为().……3分(2)将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得……1分解有a=，b=，c=0.∴所求二次函数解析式是y=x2+x.…….2分(3)设存在点C(x,x2+x)(其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.1分过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S△OBC=S△OCF+S△BCF==，而|CF|=yC-yF=，∴S△OBC=.3分∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.1分此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.1分图1114.（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）（本题满分14分）如图12，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM=∠CAH；（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________.MABCDH（图12）60\n15解：（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，又∵M是边AC的中点，∴AM=MC=BC=1，——————————————————（1分）∴MB=，————————————————（1分）又CH⊥BM于H，则∠MHC=，∴∠MCH=∠MBC，——————————————————（1分）∴sin∠MCH=.————————————————（1分）（2）在△MHC中，.———————（1分）∴AM2=MC2=，即，————————（2分）又∵∠AMH=∠BMA，∴△AMH∽△BMA，——————————————————（1分）∴∠ABM=∠CAH.——————————————————（1分）（3）、、.—————————————————（5分）16.（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）（本题满分12分）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.解(1)∵直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.（6分）60\n(2)直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），当b>0时,，得b=4，此时,坐标三角形面积为；当b<0时，，得b=－4，此时,坐标三角形面积为.综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．（12分）17.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分8分）在不透明的口袋中，有四只形状、大小、质地完全相同的小球，四只小球上分别标有数字，2，4，-.小明先从盒子里随机取出一只小球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标；再由小华随机取出一只小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标.（1）用列表法或画树状图，表示所有这些点的坐标；（2）小刚为小明、小华两人设计了一个游戏：当上述（1）中的点在正比例函数y=x图象上方时小明获胜，否则小华获胜.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.解(1)用表格列出这些点所有可能出现的结果如下：……4分1/224-1/31/2(1/2,2)(1/2,4)(1/2,-1/3)2(2,1/2)(2,4)(2,-1/3)4(4,1/2)(4,2)(4,-1/3)-1/3(-1/3,1/2)(-1/3,2)(-1/3,4)(2)在正比例函数y=x图象上方的点有：(1/2,2)、(1/2,4)、(2,4)、(-1/3,1/2)、(-1/3,2)、(-1/3,4).……6分∴P(小明获胜)=1/2，P(小华获胜)=1/2.∴这个游戏是公平的.……8分18.河南省信阳市二中）．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=，△PQR与△ABC重叠部分的面积为，连接RB．（1）当=2时，求的值；ABCPRQ（2）当取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当取何值时，四边形PQRB是平行四边形．60\n解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，∴QP=AP=1．此时△PQR在△ABC内，y=S△PQR=．……………………3分（2）∵四边形AQRB是等腰梯形，∴BR=AQ，∠PBR=∠A=30°．∵∠APQ=∠RPQ=60°，∴∠BPR=60°．又∵PR=PQ，∴△BPR≌△APQ．∴BP=AP=．∴AP==5．∴当=5时，四边形AQRB是等腰梯形．…………………………………………6分要使四边形PQRB是平行四边形，则R应在BC上．∵△PQR是等边三角形，∴QR=PQ=．又∵四边形PQRB是平行四边形，∴BP=QR=．∴AB=+=10，解得．∴当时，四边形PQRB是平行四边形．……………………………………10分19、（2022年4月韶山市初三质量检测）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．点A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC·PC=OC·BC；60\n（3）设∠AOC=，若cos=，OC=15，求AB的长。【答案】（1）证明：∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切线（2）证明：∵∠OAC=∠PBC=90°∴△CPB∽COA∴即AC·PC=OC·BC（3）解：cos==∴AO=12∵△CPB∽COA∠BPC=∠AOC=∴tan∠BPC==∴PB=36PO=12∵AB·PO=OB·BP∴AB=20、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)已知，，是的平分线，点P在上，．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．60\n（1）如图，当点F在射线CA上时，①求证：PF=PE．②设CF=x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．（2）联结EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．答案：（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．………………（1分）∵是的平分线，∴PM＝PN．由，得．∴．∵，∴．∴△PMF≌△PNE．……………………………（3分）∴PF=PE．②解：∵，∴．∵△PMF≌△PNE，∴．∴．……………………………………………………………………（2分）∵CF∥PN，∴．∴．………………………………………………………………（2分）60\n∴（0≤x＜1）．………………………………………………（2分）（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，∵，，∴．∴．∴．在Rt△EGP中，．……………………（2分）②当点F在AC延长线上时，∵，，∴．∵，，∴．易证，可得．∴．∴．易证△PMF≌△PNE，可得．∵CF∥PN，∴．∴．∴．…………………………………………………………………………（2分）21、(2022温州市泰顺九校模拟)如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？60\n（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.图①EODCBA图②OAEDCBPMN·第2题图答案：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在中，∴∴∴点坐标为………………………………………………………（1分）在中，又∵∴解得：∴点坐标为………………………………………………………（2分）（2）如图①∵∥∴∴又知∴又∵而显然四边形为矩形∴…………………（3分）∴又∵∴当时，有最大值（面积单位）…………………（1分）（3）（i）若（如图①）在中，，∴为的中点又∵∥，∴为的中点∴∴∴又∵与是关于对称的两点60\n∴，∴当时（），为等腰三角形此时点坐标为………………………………………………（3分）（ii）若（如图②）在中，∵∥，∴，∴∴∴同理可知：，∴当时（），此时点坐标为……………………（3分）综合（i）、（ii）可知：或时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或………………………………………（1分）22、(2022苏州市吴中区教学质量调研)如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DF，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．第3题图(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？23、(2022苏州市吴中区教学质量调研)某地“梅花节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏梅花，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②景区游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元，公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？答案：60\n24．（2022年江苏南通三模）计算（1）|－3|－(π－3)0+2sin30°；（2）已知：求代数式的值．答案：（1）128；（2）-8.25.（2022年江苏南通三模）随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）第2题图图①图②（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？答案：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+x2=x2－2x+16=（x－2）2+14，60\n当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴当x=8时，z的最大值是32．26（2022年江苏海安县质量与反馈）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）直接写出A、B、C、D的坐标：A______，B______，C______，D______；（2）若点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；y1Ox2344321-1-2-2-1第3题图（3）连结，求与两角和的度数．答案：（1）A(1,0)，B（3,0），C（0,3），D（2，-1）.（2）是等腰直角三角形．，．如图，设抛物线对称轴与轴交于点，过点作,，解得．点的坐标为或．（3）解法一：如图，作点关于轴的对称点，是等腰直角三角形，．解法二：如图，连结，．1Oyx2344321-1-2-2-1PEBDACF1Oyx2344321-1-2-1BDACF1Oyx2344321-1-2-2-1BDACF．27、（2022年浙江金华四模）已知二次函数y=－x2+4x+5图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN.设点P的坐标为（t，0）.（1）求点B，C，D的坐标及射线AD的解析式；60\n（2）在AB上是否存在点P，使⊿OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN的边长；若不存在，请说明理由；（3）设正方形PQMN与⊿ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式.答案：（1）B（5，0），C（0，5），D（4，5）………2分（2）∵直线AD的解析式为：，且P（t，0）。∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）当MC=MO时：t+1=∴边长为。………1分当OC=OM时：解得（舍去）∴边长为。………2分当CO=CM时：解得（舍去）∴边长为。………2分（3）当时：；……1分当时：；……1分当时：；……1分60\n当时：；……1分28、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）29、为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查.问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）.⑴请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；⑵如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？答案：%20030、（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低1元，其销量可增加10件。⑴求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？⑵设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元。①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出该x取何值时，商场所获利润不少于2160元？答案：20002或831、某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？答案：.解：（1）解：设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得解得答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元---------------360\n分﹙2﹚设新建m个地上停车位，则10<0.1m＋0.4(50－m)≤11解得30≤m＜,因为m为整数，所以m＝30或m＝31或m＝32或m＝33,对应的50－m＝20或50－m＝19或50－m＝18或50－m＝17所以，有四种建造方案。-------------------------------------------------------------------------7分32、如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；Ot/sh/cm101812图2⑵求A的高度hA及注水的速度v；⑶求注满容器所需时间及容器的高度．图1ABC答案：（1）10；8（2分）（2）根据题意：得解得答：A的高度为4cm，注水速度v为10（5分）（3）设注满容器所需要时间为ts,容器的高度为hcm，注满C的时间为tcs,C的高度为hccm.（7分）60\n答：注满容器所需时间为24s，容器的高度为24cm..（9分）33、（2022山东省德州一模）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P(异于A、B)，通过计算∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）.聪明的你：（1）请你求出∠APB的度数（2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程.答案：解：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，p为异于A、B的圆周上的任意一点.当p在上时，如图中的p1，连接AP1、BP1、AO、BO，则OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC.所以，四边形ACBO是矩形，所以，∠AOB=900，所以，∠AP1B=450……………………….4’当p在上时，如图中的p2，连接AP2、BP2，则∠AP2B=1800-450=1350………………………7’（2）∵∠APB=450或1350∴………………………8’依题意，9、27是所求抛物线与x轴交点的横坐标，故可设所求的抛物线的解析式为：y=a(x-9)(x-27)(a≠0)……………………10’∵抛物线经过点C(10，17)∴a(10-9)(10-27)=17解之得：a=-1…………………………………………………12’∴y=-(x-9)(x-27)即y=-x2+36x-243……………14’∴抛物线的对称轴方程为x=-即x=18…………15’34、（2022山东省德州一模）据我们调查，连云港市“欣欣”家电商场电视柜，今年一月至六月份销售型号为“HH-2188X”的长虹牌电视机的销量如下：月份一二三四五六销量(台)505148505249一、求上半年销售型号为“HH-2188X”的长虹牌电视机销售量的平均数、中位数、众数；二、由于此型号的长虹牌电视机的质量好，消费者满意度很高，商场计划八月份销售此型号的电视机7260\n台，与上半年平均月销售量相比，七、八月销售此型号的电视机平均每月的增长率是多少？答案：解：（1）…………………2’.中位数为：，…………………………………3’众数为：50……………………………………………………4’（2）设七、八月份销售量的平均增长率为x……………………5’依题意，得：50（1+x）2=72………………………………8’解之得：x1=0.2，x2=-(不合题意，舍去)………9’答：七八月份销售型号“HH-2188X”的电视机平均每月的增长率为20%.........10’35、（2022山东省德州一模）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA＝，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．第25题图答案：解：（1）BD是⊙O的切线…………1’连接OB∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=900∴∠1+∠C=900∵OA=OB∴∠1=∠2∴∠2+∠C=900∵∠3=∠C∴∠2+∠3=900∴DB是⊙O的切线………………………4’（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BFA=∴…………………5’∵∠E=∠C，∠4=∠5∴△EBF∽△CAF∴…………………………7’60\n即解之得：S△ACF=22.5…………8’36（2022上海市奉贤区调研试题）已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交⊙O于点，联结．（1）若，求弦的长．（2）若点在上时，设，，求与的函数关系式及自变量的取值范围；（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值．答案：解：（1）连接，若当时，有60\n∵垂直平分,∴，∴∠=∠=∠(1分)∴△∽△，(1分)∴设，则(1分)∴解得(1分)即的长为解：（2）作，垂足为，(1分)可得(1分)∵，，∴△∽△(1分)∴，∴(1分)∴()(1分+1分)解：（3）若点在外时，(2分)若点在上时，(2分)37、（2022山东省德州二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（如图）.⑴在直线DC上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，写出出60\n点的坐标，若不存在，请说明理由.第28题图⑵将等腰梯形ABCD沿轴的正半轴平行移动，设移动后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。答案：1）P（-2，2），P（0，2）………………………………………………2分2）①当0＜x≤2时，y=x2；…………………………………………4分当2≤x≤4时；y=－x+2x-2………………………………………………6分当4≤x≤6时；y=－x+4x-6………………………………………………8分②当0＜x≤2时，y=x当x＝2时，y最大＝1， …………………9分当2≤x≤4时；y=－x+2x-2＝－（x－4）+2 当x＝4时，y最大＝2 …………………………10分当4≤x≤6时；y=－x+4x-6＝－（x－4）2+2 当x＝4时，y最大＝2 ………………11分综上可知：当x＝4时，重叠部分的面积y最大＝2 ……………………12分38、（2022山东省德州三模）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；(3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．60\n答案：解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入得：，可得：………………………………………2分（2）由(1)可知：，顶点M的纵坐标为，因为，由同底可知：，………………3分整理得：，得：……………………………4分由图象可知：，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x=,∴,∴舍去,从而…………………5分（3）①由图可知，A为直角顶点不可能；………………………………………6分②若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；………………………7分③若设B为直角顶点，则可知，得：令，可得：，得：．…………………………………………8分 解得：，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．…………………9分综上所述：不存在.…………………………………………………………10分39（2022山东省德州四模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.60\n⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴……………………（2分）(2)由△ACF～△AOB得∴∴……………………（4分）(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或即:或①当时,,∴∴(舍去)或∴B(6,0)…………………（2分）②当时,(Ⅰ)当B在E的左侧时,,∴∴(舍去)或∴B(1,0)……………（2分）(Ⅱ)当B在E的右侧时,,∴∴(舍去)或∴B(3,0)……………（2分）40、（2022山东省德州四模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．60\n⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．ABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）ABCDQEHP答案：解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2…………………1分∵AP=x，∴PH=x－2，情况①：当AP=AD时，即x=2……………………………2分情况②：当AD=PD时，则AH=PH∴2=x－2，解得x=4………………………………………………………·3分情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5…………………………………4分∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形…………………………5分⑵易证：△DPH∽△PEB………………………………………………………………7分∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4………8分⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，……………………………………………9分∴不存在点P，使得PQ经过点C……………………………………………………10分当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C……………………………12分41、(2022年吴中区一模)（本题8分）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝(x>0)的图象经过点B． (1)求k的值； (2)以原点O为位似中心，将正方形OABC放大，使变换后的正方形OMQN与正方形OABC对应的比为2：1，且正方形OMQN在第一象限内与函数y＝(x>0)的图象交于点F、F，求经过三点F、B、E的抛物线的解析式．60\n答案：42.(2022年吴中区一模)（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DF，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？答案：60\n43.(2022年，辽宁省营口市)（12分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若DN=3，BM＝3，求MN的长．CFBADEG图①HBADMN图②答案：（1）∠EAF=45°（2）MN=ND+DH（3）利用（2）的结论可得MN=944.(2022年，辽宁省营口市)(14分)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.60\n（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案：ABCODExyx=2（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3.∴B(-2,3)∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4)将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，ABCODExyx=2GFH则BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=.∵CE=5，∴CB=CE=5.②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE.即D是BE的中点.（3）存在.由于PB=PE，∴点P在直线CD上，∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.∵动点P的坐标为(x，)，∴x-1=.解得，.∴，.∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)45.（2022年，广东一模）已知：如图1－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积(结果保留根号和π)．60\n图1－6解：(1)如图D59(需保留线段AD中垂线的痕迹)．(2)设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋(2)2＝(6－r)2，解得r＝2.∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.∴S扇形ODE＝＝π.∴所求图形面积为S△BOD－S扇形ODE＝2－π.46.（2022年，广东一模）如图1－7(1)，将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．(1)操作：如图1－7(2)，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)，FE交DA于点G(G点不与D点重合)．求证：BH·GD＝BF2.(2)操作：如图1－7(3)，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)，且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG.探究：FD＋DG＝________.请予以证明．60\n图1－7(1)证明：∵将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，∴∠B＝∠D，∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF＝DF，∵∠HFG＝∠B，∴∠GFD＝∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴＝，∴BH·GD＝BF2.(2)证明：∵AG∥CE，∴∠FAG＝∠C，∵∠CFE＝∠CEF，∴∠AGF＝∠CFE，∴AF＝AG，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB＝DG，∴FD＋DG＝BD.47.（2022年，广东一模）如图1－8，已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8.(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M、N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值．图1－8解：(1)∵y＝(x－m)2＋4m－8－m2，∴由题意得，m≥2.(2)如图D60，根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB＝BN.设N(a，b)，∴BN＝a－m(m<a)，又AB＝yB－yA＝b－(4m－8－m2)＝a2－2ma＋4m－8－(4m－8－m2)＝a2－2ma＋m2＝(a－m)2，60\n∴(a－m)2＝(a－m)，∴a－m＝，∴BN＝，AB＝3，∴S△AMN＝AB·2BN＝×3×2×＝3.∴△AMN的面积是与m无关的定值．图D60(3)令y＝0，即x2－2mx＋4m－8＝0时，有：x＝＝m±，由题意，(m－2)2＋4为完全平方数，令(m－2)2＋4＝n2，即(n＋m－2)(n－m＋2)＝4∵m、n为整数，∴或，解得或，综合得m＝2.48.（2022年，广东二模）已知：如图2－9，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O的直径为18，cosB＝，求DE的长．图2－9(1)证明：如图D62，连接CD，则CD⊥AB， 图D6260\n又∵AC＝BC，∴AD＝BD,即点D是AB的中点．(2)解：DE是⊙O的切线．理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴cos∠B＝cos∠A＝.∵cos∠B＝＝，BC＝18，∴BD＝6，∴AD＝6.∵cos∠A＝＝，∴AE＝2.在Rt△AED中，DE＝＝4.49、(2022年金山区二模)（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点．（1）求证：≌；（2）如果，，，求的长．解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,AD∥BC……………………………………………………………1分∴∵AB与AE为圆的半径∴AB=AE………………………………………………………………………1分∴60\n∴………………………………………………………………1分∴△ABC≌△EAD……………………………………………………………1分(2)∵ABAC∴∴在直角三角形△ABC中,…………………………………1分∵=,AB=6∴BC=10……………………………………………1分过圆心A作,H为垂足∴BH=HE………………………………………………………………………1分∴在直角三角形△ABH中,∴∴……………………………………………………2分∴∴…………………………………………………1分50(2022年南京建邺区一模)（本题7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．（第24题图）解：（1）与相切．1分理由如下：连结，则．∴∠OMB=∠OBM．∵平分，∴∠OBM=∠EBM．∴∠OMB=∠EBM．∴．3分∴．在中，，是角平分线，∴．∴．\∴．∴．∴与相切．4分（2）在中，，是角平分线，∴．60\n∵，∴．在中，，∴．设的半径为，则．∵，∴．6分．．．∴的半径为．7分51、(2022年香坊区一模)(本题6分)如图，在一幅矩形地毯ABCD的四周镶有宽度都是1米的花边．设矩形地毯AB边长为x米．镶有花边后，整个地毯EFGH中FG边长为y米．(1)若原地毯ABCD的周长为l8米，求y与x的函数关系式不要求写出自变量的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当整个地毯EFGH的面积是40平方米，且AB<BC时，AB的长为多少米?52、(2022年香坊区一模)(本题8分)某市国际动漫节开幕前，星空动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用69000元购进第二批这种玩具，所购数量是笫一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．(1)该动漫公司两次共购进这种玩具多少套?(2)如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低20％，那么每套售60\n价至少是多少元?53、(2022年福州模拟卷)(满分11分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的半圆O分别交AB、BC于点D、E．(1)求证：点E是BC的中点；(2)若∠COD＝80°，求∠BED的度数．ABCDEO第19题图(1)证法一：连接AE，1分∵AC为⊙O的直径，ABCDEO∴∠AEC＝90º，即AE⊥BC．4分∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E为BC的中点．6分证法二：连接OE，1分∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC．ABCDEO∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠B＝∠OEC，∴OE∥AB．4分∴＝＝1，∴EC＝BE，即点E为BC的中点．6分(2)∵∠COD＝80º，∴∠DAC＝40º，8分∵∠DAC＋∠DEC＝180º，∠BED＋∠DEC＝180º，∴∠BED＝∠DAC＝40º．11分综合型问题60\n一、填空题1、（2022江苏射阴特庸中学）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（结果保留π）．答案：442、（2022·湖州市中考模拟试卷7）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为.答案：3、（2022·湖州市中考模拟试卷10）如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1）、B（2，1）、C（2，2）、D（1，2），用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的的取值范围为．答案：1题图图1图2二、解答题1、（2022吉林镇赉县一模）已知点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=，线段BD、CE交于点M.（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用表示）；（2）如图2，若AB=BC=AC，AD=ED=AE，则线段BD与CE60\n又有怎样的数量关系？并说明理由；∠BMC=（用表示）.答案：2、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c，操作示例：我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形－－矩形．60\n实践探究：（1）矩形ABEF的面积是__________；（用含a，b，c的式子表示）（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．答案：（1）（a+b）c．－－－－－2分（2）－－－－－－－8分（3）拓展：能，－－－－－－－－－－9分说明：分别取AB、BC的中点F、H，连接FH并延长分别交AE、CD于点M、N，将△AMF60\n与△CNH一起拼接到△FBH位置－－－－－－－－－－－－－－－－－10分3、（2022温州市一模）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A．过点作直线轴于点H，直线AP交轴于点．（点C不与点H重合）（1）当时，求点A的坐标及的长．[www.zz^s@t#%ep.~com]（2）当时，问为何值时？（3）是否存在，使？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出[w&^ww~.*zz@step.com]相对应的点坐标；若不存在，请说明理由HOPA答案解：（1）当时，，令，解得∵HP∥OA，∴△CHP∽△COA，∴60\n∵∴∴（2）（3）①当时（如图1），（舍去）②当时（如图2），∵，又∵，∴∵∴不存在的值使．③当时（如图3），[w~ww.zz#s^tep%@.com]PA[来#源:~中国%教*育@④当时（如图4），HOPA（图4）]HOPA（图3）综上所述当时，点;当时，点．4、（2022·湖州市中考模拟试卷7）已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。60\n(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。_____________________，______________________。(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。②求抛物线的解析式。③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。答案：（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB……………………………………………4分（2）①（1，－4a）…………………………………………………………1分②∵△OAD∽△CDB∴…………………………………………………………1分∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）…………………………………2分又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，∴∴ ∵ ∴故抛物线的解析式为：………………………………2分③存在，设P（x，－x2+2x+3）∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形∴PN=AN当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分60\n当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)…………1分符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分5、（2022·湖州市中考模拟试卷10）将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示.（1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立①；②，试选择一个证明.（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.图1图2答案：（1）若证明①当=45时,即,又∴,同理∴2分在Rt和Rt中，有∴2分若证明②60\n法一证明:连结,则∵是两个正方形的中心，∴∴2分∴即∴2分（2）成立1分证明如下：法一证明:连结,则∵是两个正方形的中心，∴∴2分∴60\n即∴2分（3）在旋转过程中,的度数不发生变化，1分2分：60
