全国名校近两年（2022、2022）中考数学试卷分类汇编 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一、选择题1、（2022年浙江金华一模）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为()A、相离B、相交C、相切D、不能确定2、（2022年浙江金华一模）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P,Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.8B．4.75C．5D．42答案：A3、(2022年，辽宁省营口市)如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心OO为点）是（）A.2mB.3mC.6mD.9m答案：C（第8题图）4、(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于（C）A．2B．3C．22D．23（第1题）5、(2022石家庄市42中二模)如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为()A.4B.2C.4D.231\n答案：D6、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于（）第2题图A．2B．3C．22D．23答案：C二、填空题1（2022年南岗初中升学调研）．如图，在⊙0中，点A在⊙0上，弦BC⊥OA，垂足为点D且OD=AD，连接AC、AB．则∠BAC的度数为答案：1202、（2022年江西南昌十五校联考）如图用两．道．绳．子．捆扎着三瓶直径均为8cm的酱油瓶，若不计绳子接头（取3），则捆绳总长为．答案：96cm3、（2022年，广东二模）如图2－4，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为32度．2\n34、（2022江苏扬州中学一模）如图，直线的解析式为yx，3⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，点P在x轴上运动，过点P且与直线平行（或重合）的直线与⊙O有公共点，则点P的横坐标为整数的点的个数有▲个．答案：5第1题5、（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移▲个单位时，它与x轴相切．答案1或5第17题、三、解答题1、（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O的半径为5，AC=2，BE=1时，求BP的长.(1)直线BP和⊙O相切.……1分理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分∵PF∥AC,∴BC⊥PF,则∠PBH+∠BPF=90°.……3分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分所以直线BP和⊙O相切.……5分(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,3\n由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分ACBC∴=,解得BP=2.即BP的长为2.……10分BEBP2.（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D；（1）求证：AP=AC；（2）若AC=3，求PC的长．答案（1）证明过程略；（5分）（2）333、（2022年上海青浦二模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4，BODA，OB与⊙O相交于点E，设OAx，CDy．（1）求BD长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．答案：解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．BDOD∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，OCACBD6∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．64（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC=∠B．4\nABAO又∵∠A=∠A，∴△ACO∽△AOB．∴，AOACy13x∵ABACCDBDy13，∴，x412∴y关于x的函数解析式为yx13．定义域为213x10．4（3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．12∴AD=AO，∴y4x，∴x134x．4∴x2210（负值不符合题意，舍去）．∴AO=2210．4、（2022年浙江金华五模）（本题8分）已知：如图，AABBCAC中，，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DFAC于点F，交BA的延长线于点E．求证：（1）BD＝CD；（2）DE是⊙O的切线．CDFBAOE(第1题图)CDF答案：BA(1)连结AD,AB是直径ADB90(1分)OEABACBDCD(3分)(2)连结OD,OBODBODB(1分)ABACBCODBCOD∥AC(3分)DFACODDFDE是⊙O的切线(5分)5（2022山东省德州四模）如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．（1）求证：AE是O的切线；AED5OBC\n（2）若DBC30，DE1cm，求BD的长．答案：（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA．OAOD，ODAOAD．OADEDA．OA∥CE．…………………………3分AEDE，AED90，OAEDEA90．AEOA．AEAE是O的切线．…………………………5分D（2）BD是直径，BCDBAD90．OBCDBC30，BDC60，BDE120．…………………………6分DA平分BDE，BDAEDA60．ABDEAD30．…………………………8分在Rt△AED中，AED90，EAD30，AD2DE．在Rt△ABD中，BAD90，ABD30，BD2AD4DE．DE的长是1cm，BD的长是4cm．…………………………9分6、（2022山东省德州一模）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P(异于A、B)，通过计算1∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的，正好都和她今天作业中的一条抛物线与5x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）.聪明的你：（1）请你求出∠APB的度数（2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程.答案：解：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，p为异于A、B的圆周上的任意一点.当p在AmB上时，如图中的p1，连接AP1、BP1、CBAO、BO，则OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC.P20所以，四边形ACBO是矩形，所以，∠AOB=90，A6OP1m\n0所以，∠AP1B=45……………………….4’当p在AB上时，如图中的p2，连接AP2、BP2，000则∠AP2B=180-45=135………………………7’00（2）∵∠APB=45或135100∴APB9或27………………………8’5依题意，9、27是所求抛物线与x轴交点的横坐标，故可设所求的抛物线的解析式为：y=a(x-9)(x-27)(a≠0)……………………10’∵抛物线经过点C(10，17)∴a(10-9)(10-27)=17解之得：a=-1…………………………………………………12’2∴y=-(x-9)(x-27)即y=-x+36x-243……………14’36∴抛物线的对称轴方程为x=-即x=18…………15’27、（2022山东省德州一模）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，2且△BEF的面积为10，cos∠BFA＝，那么，你能求3出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．BEFDAOC图8答案：解：（1）BD是⊙O的切线…………1’第25题图连接OB∵AC是⊙O的直径0∴∠ABC=900∴∠1+∠C=90∵OA=OB∴∠1=∠20∴∠2+∠C=90∵∠3=∠C0∴∠2+∠3=90∴DB是⊙O的切线………………………4’（2）在Rt△ABF中，2BF2∵cos∠BFA=∴…………………5’3AF3∵∠E=∠C，∠4=∠5∴△EBF∽△CAF7\nSEBFBF2∴…………………………7’SCFAAF1022即解之得：S△ACF=22.5…………8’SACF38、（2022江苏扬州中学一模）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．第1题答案：解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB………4分第1题（2）∵△ABE∽△ADB，∴错误！未找到引用源。，2∴AB=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，∴AB=错误！未找到引用源。．………4分（3）直线FA与⊙O相切，………9分理由如下：连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴错误！未找到引用源。，BF=BO=错误！未找到引用源。，∵AB=错误！未找到引用源。，∴BF=BO=AB，∴∠OAF=90°，∴直线FA与⊙O相切．………12分8\n9、（2022荆门东宝区模拟）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．(1)求证：直线AB是⊙O的切线．CO(2)当AC＝1，BE＝2时，求tan∠OAC的值．D2AB答案：（1）证明：略（2）解：tan∠OAC=．E2第2题10、（2022江西高安）如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0°<<120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E,F，连接EF（如图2）.已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8.(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长②弧EF的长③∠AFE的度数④点O到EF的距离.其中不变的量是（填序号）；(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出的值，并求此时△AEF的面积.AAACOEOOCFBB图1图2第3题答案：解：（1）（1），(2)，（4）.（2）=90°.S△AEF=错误！未找到引用源。11、(2022年，辽宁省营口市)（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．⑴△ABC的形状是______________，理由是_________________；⑵求证：BC平分∠ABE；⑶若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．答案：（1）直角三角形直径上的圆周角是直角有一个角是直角的三角形是直角三角形E（2）略（3）CE=3CD12.（2022年，广东二模）如图2－7，在⊙O中，AB为A直径，AC为弦，过B点C作CDO⊥AB与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．9\n图2－7解：(1)由翻折可知，∠FAC＝∠OAC,∠E＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.∴CE是⊙O的切线．(2)∵FC∥AB，OC∥AF，∴四边形AOCF是平行四边形．∵OA＝OC，∴▱AOCF是菱形．13、（2022年4月韶山市初三质量检测）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．点A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC·PC=OC·BC；4（3）设∠AOC=，若cos=，OC=15，求AB的长。5CAOPB【答案】（1）证明：∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切线（2）证明：∵∠OAC=∠PBC=90°10\n∴△CPB∽COAPCBC∴即AC·PC=OC·BCOCACAO4（3）解：cos==∴AO=12OC5∵△CPB∽COA∠BPC=∠AOC=BC3∴tan∠BPC==∴PB=36PO=1210PB4136∵AB·PO=OB·BP∴AB=1025⌒14、（2022年北京中考数学模拟试卷）如图7，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE是⊙O的切线．EC(2)求直径AB的长．D答案：(1)证明：连接OD，BC。∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC。ABO∵DE⊥AC，∴BC//DE。∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC（图7）∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线。(2)设BC与DO交于点F，E由(1)可得四边形CFDE为矩形，C∴CF=DE=6，DF∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12。AB在Rt△ABC中，O2222AB=BCAC121620。15、（2022年北京市顺义区一诊考试）如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O1上，且∠A=30°，∠BDC=ABD．2（1）求证：CD是⊙O的切线；11\n（2）若OF∥AD分别交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF的长．（1）证明：连结OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．1∴∠BDC=ABD30．2∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形．∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．即OD⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．1∴DEBEBD1．222在Rt△OEB中，OB=2BE=2，OEOBBE3．∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°，2∴CD23，DFODtan303．324∴CFCDDF2333．3316、(2022年北京市延庆县一诊考试)已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；C3（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．5DEGAFOB12\n解：（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点∴BD⊥AC∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠DBE∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∴∠OEB=∠DBE∴OE∥BD∴OE⊥AC∴AC与⊙O相切3（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC5∴BC=10∴AB=10设⊙O的半径为r，则AO=10-r∵AB=BC∴∠C=∠A3∴sinA=sinC=5∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥ACOEr3∴sinA===OA10r515∴r=417、[淮南市洞山中学第四次质量检测，23,14分]（14分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长。13\nAEDOBC解：（1）(6分)证明：连接AO．∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ODA．∴∠ADE=∠OAD．∵AE⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=90°．∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED证得OA⊥AE也可．）∴AE是⊙O的切线．（2）(8分)∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°∵∠DBC=30°∴∠BDC=60°∴∠ADE=∠ODA=60°∴在Rt△AED中，∠EAD=30∵ED=1∴AD=2ED=2∵在Rt△ABD中,∠ABD=30,AD=2∴BD=2AD=4（cm）∴BD的长为4cm。18（2022深圳市龙城中学质量检测）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(3分)2(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使ADDEDF，为什么?(3分)(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．(3分)答案：14\n19、（2022广西贵港）（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．y（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物DA线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，xC两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的OBC面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.2答案：解：（1）设抛物线为ya(x4)1.……………1分15\n21∵抛物线经过点A（0，3），∴3a(04)1.∴a.……………2分41212∴抛物线为y(x4)1x2x3.……………………………3分44(2)答：与⊙C相交…………………………………………………………………4分12证明：当(x4)10时，x2，x6.12422∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB3213.…………………5分设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则BEC90AOB.∵ABD90，∴CBE90ABO.又∵BAO90ABO，∴BAOCBE.∴AOB∽BEC.……6分CEBCCE628∴.∴.∴CE2.…………………………7分OBAB21313∵抛物线的对称轴为x4，∴C点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙C相交.……………………………………………8分(3)解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q。1可求出AC的解析式为yx3.…………………………………………9分2121设P点的坐标为（m，m2m3），则Q点的坐标为（m，m3）.42112123∴PQm3(m2m3)mm.……………10分244211233227∵SSS(mm)6(m3),PACPAQPCQ2424427∴当m3时，PAC的面积最大为.……………11分43y此时，P点的坐标为（3，）.………12分4DAQExOBCP20.（2022年广东模拟）(本小题满8分)已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，BCDA.(1)求证：CD为⊙O的切线；4(2)过点C作CEAB于E.若CE2,cosD,求AD的长.（改5编）16\n答案(本小题满分8分)（1）证明：连接CO.---------------------------------1分∵AB是⊙O直径，∴1OCB90.∵AOCO，∴1A．∵5A，∴5OCB90.即OCD90.∴OCCD.又∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线．-------------------------3分（2）∵OCCD于C，∴3D90.∵CEAB于E，∴3290.∴2D.∴cos2cosD.--------------------------4分CE在△OCD中，OCD90，∴cos2，CO424∵cosD，CE2，∴．5CO55∴CO．∴⊙O的半径为25.--------------------------5分22520∴OD=,AD=6321、（2022年浙江省杭州市一模）（本题满分10分）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且ADBE，垂足为点H.（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB3，BC4，求BE的长.第1题（1）证明：连接EC，∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4∴∠4＝∠5＝∠3，又∵E为弧CF中点，∴∠6＝∠7，∵BC是直径，∴∠E＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，17\n又∵∠AHM＝∠E＝90°，∴AD∥CE，∴∠2＝∠6＝∠1，∴∠3＋∠7＝90°，又∵BC是直径，∴AB是半圆O的切线；（5分）（2）∵AB3，BC4。由（1）知，ABC90，∴AC5.在△ABM中，ADBM于H，AD平分BAC，∴AMAB3，∴CM2.（7分）ECMC1由△CME∽△BCE，得.EBCB2∴EB2EC，8∴BE55（10分）22、（2022年浙江省金华市一模）（6分）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.(1)说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.答案：（1）略，（2）8小时第2题直线与圆的位置关系一、选择题1、（2022·湖州市中考模拟试卷3）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是().A.（5，4）B.（4，5）C.（5，3）D.（3，5）18\n答案：A2、（2022·湖州市中考模拟试卷8）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P,Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.8B．4.75C．5D．42答案：A3、（2022·湖州市中考模拟试卷8）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为()A、相离B、相交C、相切D、不能确定答案：C4、(2022年深圳育才二中一摸)如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD=13cm，5CcosB，则AC的长等于（）13ADA．5cmB．6cmC．12cmD．10cm答案：CB5、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图PA、PB分别切圆O于A、B两点（，第C为1题劣）弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60°B．75°C．105°D．120°答案：C19\n6、(2022年广西南丹中学一摸)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是A．80°B．110°C．120°D．140°B答案：BDOC7、(2022年河北省一摸)|如图4，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AAB于M，且M是半径P第10题图OB的中点，]则弦CD的长是A．3B．33C．6D．63答案：D8、．(2022年河北三摸)如图：⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠BAC=30°，则∠B等于A.20°B.50°C.30°D.60°答案：C二、填空题1、(2022年河北省一摸)|如图8，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为．答案：(6,0)图8三、解答题1、（2022江苏东台实中）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．20\n答案：（1）∠AMB=50°（4分）（2）连结AB，AD，∵BD∥AM,BD=AM∴四边形AMBD为平行四边形,∵AM=BM,AM=DB,∴BD=BM则证明四边形AMBD为菱形，∵AB=AD,则∠AMB=60°（4分）122、（2022江苏东台实中）如图，抛物线yxmxn交x轴于A、B两点，交y轴于点C，2点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．（1）求m、n的值；（2）求直线PC的解析式；（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数据21.414，31.732，52.236）答案：313（1）m1,n（4分）（2）yx（3分）(3)⊙A与直线PC相交(可222用相似知识，也可三角函数，求得圆心A到PC的距离d与r大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。)（3分）3、(2022·吉林中考模拟)如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．21\n答案：解：（1）直线DE与⊙O相切．……………………………………1分理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．…………………………………………2分∴EA∥OD．…………………3分∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．…………4分（2）方法一：如图1，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．…………………………5分∴AF＝AE＝8，DF＝DE．……………………6分22\n∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF＝＝4．……7分∴DE＝DF＝4．…………………………………8分方法二：如图2，连接DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．………………………………5分∴∠ADB＝∠AED．∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB．…………………………6分EADA∴DA＝BA．8DA即DA＝10．解得DA＝4．……………7分在Rt△ADE中，DE＝＝4．………8分方法三：如图3，作OF⊥AD，垂足为F．1∴AF＝2AD，∠AFO＝∠AED．……………………5分∵∠EAD＝∠FAO，23\n∴△EAD∽△FAO．……………………6分EADA∴FA＝OA．11DA即2DA＝5．解得DA＝4．……………………7分在Rt△ADE中，DE＝＝4．…………8分4、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过B点作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC。CCEEABAOOMMBDD第20题图（1）求证：BE为⊙O的切线；1（2）如果CD6，tanBCD，求⊙O的直径。2答案：证明：BE∥CD，ABCD，ABBE．又AB为直径，BE为⊙O的切线．·······················································································3分（2）AB为直径，ABCD，11CMCD63．·············································································4分22弧BC=弧BD．BACBCD．1BM1tanBCD，．2CM213BMCM．22CM1tanBACtanBCD，AM2AM6．··································································································7分315⊙O的直径ABAMBM6．·························································8分225、（2022·温州市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．24\nCDEGAFOB（1）求证：AC与⊙O相切；3（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．5答案：（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∴OE⊥AC，∴AC与⊙O相切3（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，5∴BC=10，∴AB=10，设⊙O的半径为r，则AO=10-r，∵AB=BC∴∠C=∠A，3∴sinA=sinC=5，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，25\nOEr3∴sinA===OA10r515∴r=．46、（2022·湖州市中考模拟试卷1）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，TC3，求弦AD的长答案：证明：（1）连接OT，OTOA…………………………‥1分∴ATOOAT又TACBAT∴ATOTAC‥‥‥3分∴OT∥ACACPQ∴OT⊥PQ∴PQ是⊙O的切线……………………‥6分（2）解：过点作OMAC于M，则AMMD‥…………………‥‥7分又OTCACTOMC90∴四边形OTCM为矩形∴OMTC3………………………‥10分22∴在Rt△AOM中，AMOAOM431．∴弦AD的长为2………………………‥12分7、（2022·湖州市中考模拟试卷3）已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DEAC于点E．26\n（1）请说明DE是⊙O的切线；（2）若B30，AB＝8，求DE的长．答案：解:(1)解法一：连接OD，则OD=OB.∴BODB，……………………………………………1分∵AB=AC，∴BC.……………………………2分∴ODBC，∴OD//AC…………………………4分∴ODEDEC90.……………………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分解法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴ADB90.……………………1分又∵AB=AC，∴BD=CD.……………………………2分∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线.……………………4分∴OD//AC，∴ODEDEC90.…………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分（2）连接AD（对应（1）的解法一）∵AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分3∴BDABcosB843.………………9分2又∵AB=AC，∴CD=BD=43，CB30.……11分1∴DECD23……………………………12分2解法二：连接AD.AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分∴BAD60.………………………………8分1又∵OA=OD，∴ADOAAB4,ODA60.………10分2∴ADEODEODA30.…………………………11分∴DEADcosADE23.……………………………12分解法三：连接AD.AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分又∵ABAC,BADCAD.ADBAED90,∴⊿ADB∽⊿AED.………………9分27\nDEAD∴.………………10分BDAB1而ADAB4,BDABcosB43.………………11分2ADBD443∴DE23.………………12分AB88、（2022·湖州市中考模拟试卷7）如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；答案：解：（1）作出圆心O，…………………………………………2分以点O为圆心，OA长为半径作圆.……………………………………1分（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.∴AD是⊙O的直径……………1分连结OC，∵∠A=∠B=30°,∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,…………1分∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.……………………………………1分9、（2022·湖州市中考模拟试卷10）图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环与地面接触点为F，铁环钩与铁环的接触点为A，铁环钩与手的接触点是B，铁环钩AB长75cm,BG表示点B距离地面的高度.28\n(1)当铁环钩AB与铁环相切时(如图③)，切点A离地面的高度AM为5cm，求水平距离FG的长；(2)当点A与点O同一水平高度时(如图④)，铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点，铁环钩的另一端点从点B上升到点D，且水平距离FG保持不变，求BD的长（精确到1cm）.解:（1）如图四边形HFGI，HFMA是矩22形，OHOFHFOFAM25520RtOHA中，HAOAOH152分0方法一∵AB是圆的切线，∴OAB900∴OAHBAIOAHAOH90,得BAIAOH,又OHAAIB90,∴OAABOHA∽△AIB,得OHAI2575即得AI602分20AIFGHIHAAI156075(cm)1分(2)如图3，四边形OFGP是矩形，CPOPOCFGOC7525501分2222RtCPD中DPCDCP755025555.90;3RtAIB中,IBABsinBAI75452分5BGBIAM45550,DGDPOF55.902580.9029\nBDDGBG80.905030.9031(cm)2分10、(2022年深圳育才二中一摸)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；SCBD（2）若sin∠BAC=，求的值．SABC答案：（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分F∴∠BOC=∠BAFC∴OC∥AF…………………………………………3分AOEB∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线…………………………4分D（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==（sin∠BAC）2==．…………………………7分∴=…………………………8分11、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）；30\n①以点B为圆心，AC边的长为半径作⊙B；C②以点A为顶点，在AB边的下方作∠BAD=∠ABC．（2）请判断直线AD与⊙B的位置关系，并写出证明过程．BA第21题图【解答】（1）如右图所示；………4分（2）直线BD与⊙A相切．………………5分∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD，∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，…7分∴点A到直线BD的距离等于BC，∴直线BD与⊙A相切．………………8分12、(2022年河北二摸)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；1（2）求证：BCAB；2（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．CAONBP解：M（1）OAOC，AACO，又COB2A，COB2PCB，AACOPCB．…………………………2分又AB是⊙O的直径，ACOOCB90°，PCBOCB90°，即OC⊥CP，…………3分而OC是⊙O的半径，PC是⊙O的切线．………………………………………………4分（2）ACPC，AP，AACOPCBP，又COBAACO，CBOPPCB，∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分31\n1∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分2（3）连接MA，MB，……………………………………………………………………8分⌒⌒点M是弧AB的中点，∴AM=BM，ACMBCM，∵ACMABM，BCMABM，…………………………9分又∵BMNBMC，△MBN∽△MCB，BMMN，∴BM=MN·MC，…………………………………10分MCBM⌒⌒又AB是⊙O的直径，AM=BM，AMB90°，AMBM．AB4，BM22…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=(22)=8……………………………………………………12分13、（2022年温州一摸）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；3（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．5C答案：DEGAFOB（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点∴BD⊥AC∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠DBE∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∴∠OEB=∠DBE∴OE∥BD∴OE⊥AC∴AC与⊙O相切3（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC5∴BC=10∴AB=10设⊙O的半径为r，则AO=10-r∵AB=BC∴∠C=∠A32\n3∴sinA=sinC=5∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥ACOEr3∴sinA===OA10r515∴r=433