课时训练(二十四) 与圆有关的计算(限时:50分钟)|夯实基础|1.一圆锥的母线长为6cm,底面圆的半径为4cm,那么它的侧面展开图的圆心角为 . 2.如图K24-1,正六边形ABCDEF的边长为2,则对角线AE的长是 . 图K24-13.如图K24-2,以正六边形的每个顶点为圆心,1cm为半径画圆,则图中阴影部分的面积为 cm2(结果保留π). 图K24-213\n4.[2022·白银]如图K24-3,分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a,则勒洛三角形的周长为 . 图K24-35.[2022·曲靖罗平县模拟]如图K24-4,AB是☉O的直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=23,则阴影部分的面积为 . 6.[2022·天水]已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积是( )图K24-4A.20πcm2B.20cm2C.40πcm2D.40cm27.如图K24-5,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则弧AB的长为( )图K24-5A.23πB.πC.43πD.53π8.如图K24-6,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB=( )13\n图K24-6A.30°B.35°C.45°D.60°9.如图K24-7,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为( )图K24-7A.10πB.103C.103πD.π10.[2022·玉林]圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,则圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是( )A.90°B.120°C.150°D.180°11.[2022·烟台]如图K24-8,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E,则DE的长为( )图K24-8A.13πB.23πC.76πD.43π12.如图K24-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=23,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是( )13\n图K24-9A.23-23πB.43-23πC.23-43πD.23π13.如图K24-10,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠B.(1)求证:直线AE是☉O的切线;(2)若∠D=60°,AB=6,求AC的长(结果保留π).图K24-1013\n14.[2022·滨州]如图K24-11,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆☉O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求证:直线DM是☉O的切线;(2)求证:DE2=DF·DA.图K24-1113\n15.[2022·随州]如图K24-12,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的☉O与BC相切于点D,交AB于点E.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留π).图K24-12|拓展提升|16.[2022·衡阳]如图K24-13,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC,AB的延长线于点E,F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4,CE=2,求BD的长度.(结果保留π)13\n图K24-1313\n参考答案1.240° 2.23 3.2π4.πa [解析]如图,AB=BC=CA=a,∠A=∠B=∠C=60°,弧BC的半径为a,圆心角为∠A=60°,由弧长公式得:lBC=nπr180=60πa180=πa3,所以勒洛三角形的周长=πa3×3=πa.5.2π3 [解析]连接OD.∵CD⊥AB,∴CE=DE=12CD=3,故S△OCE=S△ODE,即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,又∵∠ABD=60°,∴∠CDB=30°,∴∠COB=60°,∴OC=2,∠BOD=60°,∴S扇形OBD=60π×22360=2π3,即阴影部分的面积为2π3.故答案为:2π3.6.A 7.C 8.A 9.C10.D [解析]13\n因为圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,所以圆锥的底面直径为4,底面周长为4π,即侧面展开图中扇形的弧长,同时可得出该扇形的半径为4,设圆心角为n,由弧长公式可得n·π·4180=4π,所以n=180°.11.B [解析]如图,连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,∠D=∠B=70°,∴OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°.∴∠DOE=40°.∴DE的长=40π×3180=23π.12.A13.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CBA+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴∠BAE=90°,即BA⊥AE.∴AE是☉O的切线.(2)连接OC,∵AB=6,∴AO=3.13\n∵∠D=60°,∴∠AOC=120°,∴AC的长为120π×3180=2π.14.证明:(1)如图①,连接DO,并延长交☉O于点G,连接BG.∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠DAC=∠G,∵DG为☉O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是☉O的切线.(2)如图②,连接BE.∵点E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD,∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.13\n∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴BDAD=DFBD,即BD2=DF·DA.∴DE2=DF·DA.15.解:(1)证明:连接OD,∵BC是☉O的切线,∴∠ODA+∠ADC=90°.∵∠C=90°,∴∠ADC+∠DAC=90°,∴∠ODA=∠DAC.又OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠DAC,∴AD平分∠BAC.(2)设☉O的半径为r,在Rt△ODB中,∠B=∠BOD=45°,∴BD=OD=r,OB=2r.又∠ODB=∠C=90°,∴OD∥AC,13\n∴BOOA=BDDC,即2rr=r1,∴r=2.∴S阴影=S△OBD-S扇形EOD=12·2·2-45·π·(2)2360=1-π4.16.解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠EAB,∴∠OAD=∠DAE.∴∠EAD=∠ODA.∴OD∥AE.∵DE⊥AE,∴OD⊥EF.∴EF是☉O的切线.(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴BC∥EF.又∵OD∥AE,∴四边形CEDG是平行四边形.∵DE⊥AE,∴∠E=90°.13\n∴四边形CEDG是矩形.∴DG=CE=2.∵OD⊥EF,BC∥EF,∴OG⊥BC.∴CG=BG.∵OA=OB,∴OG=12AC=2,∴OB=OD=4,∴∠BOD=60°,∴BD的长=60180π×4=43π.13
