单元综合检测六 圆(80分钟 120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是(B)A.34°B.35°C.43°D.44°【解析】∵∠D=∠A=42°,∴∠B=∠APD-∠D=35°.2.如图,已知在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为(B)A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】连接OC,∵OA⊥BC,∴AB=AC,∴∠AOC=∠AOB.∵∠AOB=70°,∴∠AOC=70°,∴∠ADC=12∠AOC=35°.3.如图,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为(D)A.2RB.32R7\nC.22RD.3R【解析】延长BO交☉O于点D,连接CD,∴∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,∴∠CBD=30°,∵BD=2R,∴DC=R,∴BC=3R.4.小颖同学在手工制作时,把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为(C)A.23cmB.63cmC.43cmD.83cm【解析】如图,☉O是等边△ABC的外接圆,连接OB,作OD⊥BC于点D,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵☉O是等边△ABC的外接圆,∴∠OBD=12∠ABC=30°.∵OD⊥BC,∴BD=12BC=6,∴OB=BD÷cos30°=6÷32=43(cm).5.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,点C是优弧AB上一点(不与点A,B重合),则cosC的值为(B)A.35B.45C.33D.32【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D,则BD=12AB=3,∠BOD=12∠AOB=∠C,在Rt△BOD中,OB=5,BD=3,∴OD=4,∴cos∠BOD=ODOB=45,即cosC=45.6.一个圆锥的高为3cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的侧面积是(A)A.6πcm2B.9πcm2C.63πcm2D.93πcm2【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,由题意得2πr=πl,即l=2r,又∵r2+32=l2,解得r=3,l=23,∴圆锥的侧面积是πrl=3×23π=6π(cm2).7.如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的圆O与边AB,CD分别交于点E、点F,则下列说法:①AC与BD的交点是圆O的圆心;②AF与DE的交点是圆O的圆心;③BC与圆O相切.其中正确说法的个数是(C)7\nA.0B.1C.2D.3【解析】连接DG,AG,作GH⊥AD于点H,连接OD,如图,∵G是BC的中点,∴AG=DG,∴GH垂直平分AD,∴点O在HG上,∵AD∥BC,∴HG⊥BC,∴BC与圆O相切;∵OG≠OH,∴点O不是HG的中点,∴圆心O不是AC与BD的交点;而四边形AEFD为☉O的内接矩形,∴AF与DE的交点是圆O的圆心.∴①错误,②③正确.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(6,0),B(0,6),☉O的半径为2(O为坐标原点),P是直线AB上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为(D)A.7B.3C.32D.14【解析】连接OQ,OP,在Rt△OPQ中,PQ=OP2-OQ2,∵OQ=2,当OP取最小值时,PQ最小.又∵OP≥32,∴PQ≥14.二、填空题(每小题5分,满分20分)9.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是 AB∥CD . 【解析】∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,又∵∠C=∠D,∴∠A+∠D=180°,∴AB∥CD.10.如图,一个含有30°角的直角三角板ABC的直角边AC与☉O相切于点A,∠C=90°,∠B=30°,☉O的直径为4,AB与☉O相交于点D,则AD的长为 23 . 【解析】连接OA,过点O作OE⊥AD于点E,在Rt△OEA中,OA=2,∠OAE=30°,则AE=3,AD=23.11.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=43,则S阴影= 83π . 7\n【解析】如图,连接OC,设AB与CD交于点E,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=12CD=23.∵∠BCD=30°,∴∠DOE=60°.又∵∠DEO=90°,∠ODE=30°,∴△CEB≌△DEO(ASA),∴S△CEB=S△DEO,∴S阴影=S扇形BOD.∴sin∠EOD=DEOD=32,∴OD=4.∴S阴影=S扇形BOD=60×π×42360=83π.12.如图,☉O的半径为2,弦BC=23,点A是优弧BC上一动点(不包括端点),△ABC的高BD,CE相交于点F,连接ED.下列四个结论:①∠A始终为60°;②当∠ABC=45°时,AE=EF;③当△ABC为锐角三角形时,ED=3;④线段ED的垂直平分线必平分弦BC.其中正确的是 ①②③④ .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】连接CO并延长交☉O于点G,连接BG,如图1.则有∠BGC=∠BAC.∵CG为☉O的直径,∴∠CBG=90°.∴sin∠BGC=BCCG=234=32,∴∠BGC=60°,∴∠BAC=60°,∴①正确.如图2,∵∠ABC=45°,CE⊥AB,即∠BEC=90°,∴∠ECB=45°=∠EBC,∴EB=EC.∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴∠BEC=∠BDC=90°.∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°.∵∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF.在△BEF和△CEA中,∠FBE=∠ACE,BE=CE,∠BEF=∠CEA,∴△BEF≌△CEA,∴AE=EF,∴②正确.如图2,∵∠AEC=∠ADB=90°,∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB.∴AEAD=ACAB.∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴EDBC=AEAC.∵cosA=AEAC=cos60°=12,∴EDBC=12,∴ED=12BC=3,∴③正确.取BC中点H,连接EH,DH,如图3和图4.∵∠BEC=∠CDB=90°,点H为BC的中点,∴EH=DH=12BC.∴点H在线段DE的垂直平分线上,即线段ED的垂直平分线平分弦BC,∴④正确.7\n三、解答题(满分68分)13.(13分)如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且DA=DC,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:△ACD是等边三角形;(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.解:(1)∵BM是☉O的切线,AB为☉O直径,∴AB⊥BM,∵BM∥CD,∴AB垂直平分CD,∴AD=AC.∵DA=DC,∴AD=DC,∴AD=CD=AC,∴△ACD是等边三角形.(2)∵△ACD是等边三角形,AB⊥DC,∴∠DAB=30°,连接BD,则BD⊥AD,易证∠EBD=∠DAB=30°,∵DE=2,∴BE=4,BD=23,AB=43,OB=23,在Rt△OBE中,OE=OB2+BE2=(23)2+42=27.14.(15分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.解:(1)∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AC=AB,∴平行四边形ABFC是菱形.7\n(2)设CD=x.连接BD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或x=-8(舍),∴AC=8,BD=82-72=15,∴S菱形ABFC=AC·BD=815.∴S半圆=12πr2=12·π·42=8π.15.(20分)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=43,求AD的长.解:(1)过点O作OE⊥AB于点E,∵AD⊥BO于点D,∴∠D=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°,∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD,又∵BC为☉O的切线,∴AC⊥BC,∴∠BCO=∠D=90°,∵∠BOC=∠AOD,∴∠OBC=∠OAD=∠ABD,在△BOC和△BOE中,∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OEB,BO=BO,∴△BOC≌△BOE(AAS),∴OE=OC,∵OE⊥AB,∴AB是☉O的切线.(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠EOA+∠BAC=90°,∴∠EOA=∠ABC,∵tan∠ABC=43,BC=6,∴AC=BC·tan∠ABC=8,则AB=10,由(1)知BE=BC=6,∴AE=4,∵tan∠EOA=tan∠ABC=43,∴OEAE=34,∴OE=3,OB=BE2+OE2=35,∵∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°,∴△ABD∽△OBC,∴OCAD=OBAB,即3AD=3510,∴AD=25.16.(20分)如图,已知☉O的半径为2,AB为直径,CD为弦,AB与CD交于点M,将CD沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA到点P,使AP=OA,连接PC.(1)求CD的长.7\n(2)求证:PC是☉O的切线.(3)点G为ADB的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交BC于点F(F与B,C不重合).问GE·GF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.解:(1)连接OC,∵将CD沿CD翻折后,点A与圆心O重合,∴OM=12OA=1,CD⊥OA,∵OC=2,∴CD=2CM=2OC2-OM2=23.(2)∵AP=OA=2,AM=OM=1,CM=3,又∵∠CMP=∠OMC=90°,∴PC=CM2+PM2=23,∵OC=2,PO=4,∴PC2+OC2=PO2,∴∠PCO=90°,∴PC是☉O的切线.(3)GE·GF是定值.理由:连接GA,AF,GB,∵点G为ADB的中点,∴GA=GB,∴∠BAG=∠AFG,∵∠AGE=∠FGA,∴△AGE∽△FGA,∴AGGE=FGAG,∴GE·GF=AG2,∵AB为直径,AB=4,∴∠BAG=∠ABG=45°,∴AG=22,∴GE·GF=AG2=8.7
