第七章 图形变换7.1 图形的平移、对称、旋转与位似学用P77[过关演练] (30分钟 80分)1.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(A)【解析】A是轴对称图形不是中心对称图形;B是中心对称图形不是轴对称图形;C和D既是轴对称图形又是中心对称图形.2.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是(B)A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,-2)D.(-1,-2)【解析】因为棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示,故可知最右边的圆子为坐标原点,分别画出四个选项的图形,可知B项正确.3.(2022·四川内江)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为(A)9\nA.(-4,-5)B.(-5,-4)C.(-3,-4)D.(-4,-3)【解析】∵点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴A(4,3),设直线AB解析式为y=kx+b,则3=4k+b,1=2k+b,解得k=1,b=-1,∴直线AB解析式为y=x-1,令x=0,则y=-1,∴P(0,-1),又∵点A与点A'关于点P成中心对称,∴点P为AA'的中点,设A'(m,n),则m+42=0,3+n2=-1,∴m=-4,n=-5,∴点A'的坐标为(-4,-5).4.(2022·山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C',此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(D)A.12B.6C.62D.63【解析】连接B'B,∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C',∴AC=A'C,AB=A'B',∠A=∠CA'B'=60°,∴△AA'C是等边三角形,∴∠AA'C=60°,∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°,∵∠ACA'=∠BCB'=60°,BC=B'C,∴△BCB'是等边三角形,∴∠CB'B=60°,∵∠CB'A'=30°,∴∠A'B'B=30°,∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°,∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴AB=12,∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6,∴B'B=63.5.(2022·辽宁阜新)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2022的坐标为(D)A.(1,1)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-1,1)【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),连接OB,由勾股定理得OB=2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=2,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,∴B1(0,2),B2(-1,1),B3(-2,0),…,发现是8次一循环,所以2022÷8=252……2,∴点B2022的坐标为(-1,1).6.如图,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle,1780—1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意.9\n1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard,1845—1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°.若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ的值为(D)A.5B.4C.3+2D.2+2【解析】把点Q绕点D顺时针旋转90°到点M,连接ME,MQ,MD,则△MED≌△QFD,∴ME=QF,MD=QD,∠MED=∠QFD,∠MDE=∠QDF,设∠QED=∠QFE=∠QDF=∠MDE=α,在Rt△DMQ中,由勾股定理得MQ=2,∵∠QED=∠QDF,∠EDF=90°,∴∠EQD=90°,∵∠QFD+α=45°,∴∠MED+α=45°,∵∠MQD=45°,∴∠EQM=90°-45°=45°,∴△MQE是等腰直角三角形,由勾股定理得QE=2,又ME=MQ=2,则FQ=2,∴QE+QF=2+2.7.如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半,若BC=3,则△ABC移动的距离是 3-62 . 【解析】由平移的性质得AB∥EH,∴△CHE∽△CAB,∴ECBC2=S△EHCS△BAC=12S△BACS△BAC=12,∴ECBC=22,∵BC=3,∴EC=3×22=62,∴平移距离BE=BC-EC=3-62.8.(2022·湖北随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA'B'C',则点B的对应点B'的坐标为 (6,-6) . 9\n【解析】作B'H⊥x轴于H点,连接OB,OB',如图,∵四边形OABC为菱形,∴∠AOC=180°-∠C=60°,OB平分∠AOC,∴∠AOB=30°,∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA'B'C'的位置,∴∠BOB'=75°,OB'=OB=23,∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°,∴△OBH为等腰直角三角形,∴OH=B'H=22OB'=6,∴点B'的坐标为(6,-6).9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B(0,-2),C(1,0).点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1,点P1绕点B旋转180°得到点P2,点P2绕点C旋转180°得到点P3,点P3绕点A旋转180°得到点P4,…,按此作法进行下去,则点P2022的坐标为 (2,-4) . 【解析】由题意依次作出各点,如图,得P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),发现点P6与点P重合,即6次一个循环,∵2022÷6=336……2,∴点P2022与点P2重合,即点P2022的坐标为(2,-4).10.(9分)如图,在小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,根据图形解答下列问题:(1)将△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;(2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE1F1.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,△DE1F1即为所求.9\n11.(10分)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;(2)将△A1B1C向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2;(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标.(不写解答过程,直接写出结果)解:(1)如图,△A1B1C为所作.(2)如图,△A2B2C2为所作.(3)P点坐标为83,0.12.(12分)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos∠BAC=45,求CB'的长.解:(1)四边形ACC'A'是菱形,理由:由平移的性质可得AA'=CC',且AA'∥CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,9\n由AA'∥CC'得∠AA'C=∠A'CB',由题意得CD平分∠ACB',∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,∴AA'=AC,∴平行四边形ACC'A'是菱形.(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,∴cos∠BAC=ABAC=45,∴AC=10,∴BC=AC2-AB2=102-82=6,由平移的性质可得BC=B'C'=6,由(1)得四边形ACC'A'是菱形,∴AC=CC'=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.13.(10分)(2022·山东莱芜)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E分别是AB,AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△AD'E',连接BD',CE',如图1.(1)求证:BD'=CE';(2)如图2,当α=60°时,设AB与D'E'交于点F,求BFFA的值.解:(1)∵AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,∴AD=BD=AE=EC.由旋转的性质可知∠DAD'=∠EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴AD'=AE',∴△BD'A≌△CE'A,∴BD'=CE'.(2)连接DD'.∵∠DAD'=60°,AD=AD',∴△ADD'是等边三角形.∴∠ADD'=∠AD'D=60°,DD'=DA=DB.∴∠DBD'=∠DD'B=30°,∴∠BD'A=90°.∵∠D'AE'=90°,∴∠BAE'=30°,∴∠BAE'=∠ABD',又∵∠BFD'=∠AFE',∴△BFD'∽△AFE',∴BFAF=BD'AE'=BD'AD'.9\n∵在Rt△ABD'中,tan∠BAD'=DB'AD'=2,∴BFAF=3.[名师预测]1.在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为(B)A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12m,12nD.12m,12n或-12m,-12n【解析】点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(-2),n×(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n).2.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上的点B'处,此时,点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上,下列结论错误的是(C)A.∠BCB'=∠ACA'B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'ACD.B'C平分∠BB'A'【解析】根据旋转的性质得∠BCB'与∠ACA'都是旋转角,则∠BCB'=∠ACA',A正确;∵CB=CB',∴∠B=∠BB'C,又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C,∴∠A'CB'=2∠B,∴∠ACB=2∠B,B正确;∵∠A'B'C=∠B,∴∠A'B'C=∠BB'C,∴B'C平分∠BB'A',D正确.3.有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段DG的长为 2 . 【解析】根据题意,∵Rt△DAE≌Rt△DA'E,∴DA'=DA=2,CA'=DC-DA'=1,∵矩形A'EBC折叠到矩形A'EB'C',∴C'A'=CA'=1,∴DC'=C'A'=1,∵∠D=45°,∠DC'B'=90°,∴DG=2DC'=2.4.已知△ABC的三个顶点为A(-1,-1),B(-1,3),C(-3,-3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=3x的图象上,则m的值为 0.5或4 . 【解析】设平移后的三角形为△A'B'C',其中A'(-1+m,-1),B'(-1+m,3),C'(-3+m,-3),∴A'B'的中点坐标为(-1+m,1),A'C'的中点坐标为(-2+m,-2),B'C'的中点坐标为(-2+m,0),当A'B'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=1×(-1+m),解得m=4;当A'C'9\n的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=-2×(-2+m),解得m=0.5;当B'C'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=0×(-2+m),方程无解.综上,m的值为0.5或4.5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为(-2,-2),(-4,-1),(-4,-4).(1)作出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1;(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把A'向右平移a个单位后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界),求a的取值范围.解:(1)△A1B1C1如图.(2)点A'如图所示,a的取值范围是4<a<6.6.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(-1,3),B(-3,1),C(-1,1).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1,并求出点A1走过的路径长.解:(1)△A1B1C1如图,B1点坐标为(3,1).(2)△A2B2C1如图,点A1走过的路径长为14×2×π×2=π.9\n7.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于点E;延长PF交AB于点G.求证:(1)△AFG≌△AFP;(2)△APG为等边三角形.解:(1)由折叠可得M,N分别为AD,BC的中点,∵DC∥MN∥AB,∴F为PG的中点,即PF=GF,由折叠可得∠PFA=∠D=∠AFG=90°,在△AFP和△AFG中,PF=GF,∠AFP=∠AFG,AF=AF,∴△AFP≌△AFG(SAS).(2)∵△AFP≌△AFG,∴AP=AG,∵AF⊥PG,∴∠2=∠3,又由折叠可得∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠2+∠3=60°,即∠PAG=60°,∴△APG为等边三角形.9
