第六章 圆6.1 圆的有关性质学用P64[过关演练] (40分钟 80分)1.(2022·山东青岛)如图,点A,B,C,D在☉O上,∠AOC=140°,点B是AC的中点,则∠D的度数是(D)A.70°B.55°C.35.5°D.35°【解析】连接OB,∵点B是AC的中点,∴∠AOB=12∠AOC=70°,由圆周角定理得∠D=12∠AOB=35°.2.(2022·四川乐山)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸【解析】设☉O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,故☉O的直径为26寸.11\n3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(C)A.92°B.108°C.112°D.124°【解析】∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°,∵CE=CD,∴∠COE=2∠B=68°,又∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°,∴∠F=360°-90°-90°-68°=112°.4.如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为C.连接AO并延长交☉O于点E.连接BE,CE,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为(A)A.12B.15C.16D.18【解析】∵OD⊥AB,∴AC=BC=12AB=4,在Rt△AOC中,设半径OA=OD=x,则OC=x-2,根据勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AE=10,∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴BE=AE2-AB2=102-82=6.∴S△BCE=12BC·BE=12×4×6=12.5.如图,AB是☉O的直径,AC,BC分别与☉O相交于点D,E,连接DE,现给出两个命题:①若AC=AB,则DE=CE;②若∠C=45°,记△CDE的面积为S1,四边形DABE的面积为S2,则S1=S2.那么(D)A.①是真命题,②是假命题B.①是假命题,②是真命题C.①是假命题,②是假命题D.①是真命题,②是真命题【解析】由题意知四边形DABE是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,若AC=AB,则∠B=∠C,∴∠CDE=∠C,∴DE=CE,∴①是真命题;连接BD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠CDB=90°,∠C=45°,∴DCCB=22,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴S△DCES△BCA=12,∴S△DCES四边形DABE=1,即S1=S2,∴②为真命题.11\n6.(2022·山东泰安)如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为(C)A.3B.4C.6D.8【解析】∵PA⊥PB,∴∠APB=90°,∵AO=BO,∴AB=2PO,若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交☉M于点P',当点P位于P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.7.(2022·吉林)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,若∠AOB=58°,则∠BDC= 29 °. 【解析】连接OC.∵AB=BC,∴∠AOB=∠BOC=58°,∴∠BDC=12∠BOC=29°.8.如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC= 5 cm. 【解析】连接OA,因为半径OC⊥AB于点D,所以AD=12AB=4cm,设☉O的半径为xcm,在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,所以OC=5cm.9.(2022·湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= 23 . 11\n【解析】连接BD.∵AB是直径,∴∠C=∠D=90°,∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,∴∠DAB=30°,∴AB=AD÷cos30°=43,∴AC=AB·cos60°=23.10.如图,边长为4的正方形ABCD内接于☉O,点E是AB上的一个动点(不与点A,B重合),点F是BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有下列结论:①AE=BF;②△OGH是等腰直角三角形;③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△GBH周长的最小值为4-2.其中正确的是 ①② .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】连接OA,OB,则有∠AOB=90°,又∠EOF=90°,所以∠AOE=∠BOF,所以AE=BF,故①正确;连接OC,则∠OBG=∠OCH=45°,OB=OC,∠BOG=∠COH,所以△OBG≌△OCH,所以OG=OH,△OGH是等腰直角三角形,故②正确;由△OBG≌△OCH,得S四边形OGBH=S△OBG+S△OBH=S△OCH+S△OBH=S△OBC=14×42=4,所以四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而不变,故③错误;设BG=x,则BH=4-x,GH=BG2+BH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,由于BG+BH=x+4-x=4,所以△GBH的周长取最小值时,只需GH取最小值,这时x=2,GH的最小值为22,所以△GBH的周长的最小值为4+22,故④错误.11.(8分)如图,MN是☉O的直径,MN=4,点A在☉O上,∠AMN=30°,点B为AN的中点,P是直径MN上一动点.(1)利用尺规作图,确定当PA+PB最小时P点的位置;(不写作法,但要保留作图痕迹)(2)求PA+PB的最小值.解:(1)如图,点P即为所求.(2)如图,连接OA,OA',OB.由(1)可得,PA+PB的最小值即为线段A'B的长,∵∠AMN=30°,11\n∴∠AON=∠A'ON=2∠AMN=60°.又∵点B为AN的中点,∴∠BON=12∠AON=30°,∴∠A'OB=90°.又∵MN=4,∴OB=OA'=2.在Rt△A'OB中,由勾股定理得A'B=22+22=22.∴PA+PB的最小值是22.12.(8分)如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC中点,OD交弦AC于点E,连接BE,若AC=8,DE=2.(1)求半圆的半径长;(2)求BE的长度.解:(1)设圆的半径为r,∵D是弧AC的中点,∴OD⊥AC,AE=12AC=4,在Rt△AOE中,OA2=OE2+AE2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,即圆的半径长为5.(2)连接BC,∵AO=OB,AE=EC,∴BC=2OE=6,∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°,∴BE=EC2+BC2=213.13.(10分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F.(1)求证:CB平分∠ABD;(2)若AB=6,OF=1,求CE的长.解:(1)∵OC∥BD,∴∠C=∠DBC,∵OC=OD,∴∠C=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴CB平分∠ABD.(2)∵OF∥BD,OA=OB,∴OF为△ABD的中位线,∴BD=2OF=2,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,AD=62-22=42,∴DF=22,而CF=OC-OF=3-1=2,∴CF=BD,在△CEF和△BDE中,∠CEF=∠DEB,∠CFE=∠BDE,CF=BD,11\n∴△CEF≌△BED,∴DE=EF=2,在Rt△CEF中,CE=22+(2)2=6.14.(10分)如图,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在BAD上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证:2AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,MA2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.解:(1)∵∠ADB=∠ACB=45°,且∠ABD=45°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAD=90°,∴BD是△ABD外接圆的直径.(2)如图1,作AE⊥AC,交CB的延长线于点E.∵∠EAC=∠BAD=90°,∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,∴∠EAB=∠DAC.由∠ACB=∠ABD=45°,可得△ACE与△ABD是等腰直角三角形,∴AE=AC,AB=AD,∴△ABE≌△ADC,∴CD=BE.在等腰Rt△ACE中,由勾股定理,得CE=2AC.∵CE=BC+BE,∴2AC=BC+CD.(3)DM2=BM2+2MA2.证明:如图2,延长MB交圆于点F,连接AF,DF.∵∠BFA=∠ACB=∠BMA=45°,∴∠MAF=90°,MA=AF,∴MA2+AF2=2MA2=MF2.又∵AC=MA=AF,∴AC=AF,11\n又∵AD=AB,∴CD=BF,∴DF=BC,∴DF=BC=BM.∵BD是直径,∴∠BFD=90°.在Rt△MDF中,由勾股定理,得DM2=DF2+MF2,∴DM2=BM2+2MA2.[名师预测]1.如图,☉O中,OA⊥BC,∠AOC=50°,则∠ADB的度数为(B)A.15°B.25°C.30°D.50°【解析】连接OB,∵OA⊥BC,∠AOC=50°,∴∠AOB=∠AOC=50°,则∠ADB=12∠AOB=25°.2.如图所示,☉O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=(A)A.5B.7C.9D.11【解析】因为ON⊥AB,所以AN=12AB=12×24=12,∠ANO=90°.在Rt△AON中,由勾股定理得ON=OA2-AN2=132-122=5.3.如图,点A,B,C,D在☉O上,CB=CD,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= 70° . 【解析】∵CB=CD,∠CAD=30°,∴∠CAD=∠CAB=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,∵∠ACD=50°,∴∠ABD=50°,∴∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°.4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接BE,若AD=365,sin∠EBC=2425,求☉O的半径.11\n解:(1)∵CE∥AD,∴∠ACE=∠CAD,∵∠B=∠AEC,∠B=∠D,∴∠AEC=∠D,∴∠EAC=∠ACD,∴AE∥CD,∴四边形AECD为平行四边形.(2)作OH⊥CE于点H,连接OE,OC,如图,则EH=CH=12CE,∵CE=AD=365,∴EH=185,∵∠EOC=2∠EBC,∠EOH=∠COH,∴∠EOH=∠EBC,在Rt△EOH中,sin∠EOH=EHOE=2425,∴OE=2524×185=154,即☉O的半径为154.5.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与AC,BC的交点分别为点D,E,且DE=BE.(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由:∵DE=BE,∴∠EBD=∠EDB.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°.∴∠CDE=∠C.∵四边形ABED内接于☉O,∴∠CDE=∠CBA,∴∠C=∠CBA,11\n∴AC=AB,∴△ABC是等腰三角形.(2)∵∠CDE=∠C,∴CE=DE.∵DE=BE,∴DE=EB,∴CE=EB=12BC=12×12=6.∵☉O的半径是5,∴AC=AB=10.∵∠CDE=∠CBA,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴CDBC=CEAC,即CD12=610,解得CD=7.2.∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8.∴在Rt△ADB中,sin∠ABD=ADAB=2.810=725.6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.(1)求证:∠A=∠AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:△ABE是等边三角形.解:(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°.∵∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB.∴∠A=∠AEB.(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形.∵EO⊥CD,∴CF=DF.∴EO是CD的垂直平分线.∴ED=EC.∵DC=DE,∴DC=DE=EC.∴△DCE是等边三角形.∴∠AEB=60°.∴△ABE是等边三角形.7.如图,四边形ABCD内接于☉O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;(2)求证:∠1=∠2.11\n解:(1)∵BC=DC,∴BC=DC.∴∠BAC=∠CAD=∠CBD.∵∠CBD=39°,∴∠BAC=∠CAD=39°.∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°.(2)∵EC=BC,∴∠CBE=∠CEB.∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠BAC,∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC.又∵∠BAC=∠CBD,∴∠1=∠2.8.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,点D在BC上,AE∥BC,AE=BD.(1)求证:AD=CE;(2)如果点G在线段CD上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形.解:(1)在☉O中,∵AB=AC,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC.又∵BD=AE,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.(2)解法1:连接AO并延长交边BC于点H,∵AB=AC,OA是半径,∴AH⊥BC,∴BH=CH.∵AD=AG,∴DH=HG,∴BH-DH=CH-GH,即BD=CG.∵BD=AE,∴CG=AE.又∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.解法2:∵△ABD≌△CAE,∴∠ACE=∠BAD,∵∠B=∠ACB,∠B+∠BAD=∠ACE+∠ACB,又∵∠B+∠BAD=∠ADC,∠ACE+∠ACB=∠BCE,∴∠BCE=∠ADC.∵AG=AD,∴∠ADC=∠AGB,∴∠AGB=∠BCE,∴AG∥CE,11\n又∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.9.已知☉O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E.(1)如图1,求证:EA·EC=EB·ED;(2)如图2,若AB=BC,AD是☉O的直径,求证:AD·AC=2BD·BC;(3)如图3,若AC⊥BD,点O到AD的距离为2,求BC的长.解:(1)∵∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠CDB,∴△ABE∽△DCE,∴EAED=EBEC,∴EA·EC=EB·ED.(2)连接OB,∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO,又∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=∠BDO=∠DBO,∴△ABC∽△DOB,∴ACBD=BCOB=2BCAD,∴AD·AC=2BD·BC.(3)作直径AM,连接DM,过点O作OF⊥AD,垂足为F,则F是AD的中点,又∵O是AM的中点,∴DM=2OF=4,∵AC⊥BD,AM为直径,∴∠ABD+∠BAC=∠AMD+∠MAD=90°,又∵∠ABD=∠AMD,∴∠BAC=∠MAD,∴BC=DM=4.11
