单元综合检测四 三角形(80分钟 120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是(A)A.22°B.28°C.50°D.30°【解析】如图,∵a∥b,∴∠4=∠1=50°,由三角形的外角性质得∠3=∠4-∠2=50°-28°=22°.2.在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为10,AC边的长度可以在3,5,7,9,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(D)A.3B.4C.5D.6【解析】如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵∠ABC=30°,AB=10,∴AD=12AB=5.当AC=3时,没有符合条件的三角形;当AC=5时,可作1个三角形;当AC=7时,可作2个三角形;当AC=9时,可作2个三角形;当AC=11时,可作1个三角形.所以满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个.3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是(C)A.45°B.55°C.65°D.75°【解析】设这个角的度数是x,根据题意得180-x=4(90-x)+15,解得x=65.7\n4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是(B)A.AD=BEB.∠C=∠FC.AC=DFD.BC=EF【解析】∵BC∥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F,不能判断△ABC≌△DEF.5.如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为(A)A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.2∶3【解析】四边形ABCD和A'B'C'D'的相似比为2∶3,所以四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为4∶9.6.点D,E分别在等边△ABC的边BC,AC上,BD=CE,AD与BE相交于点O,则∠AOE的度数是(C)A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】由等边△ABC得∠ABC=60°,易证△ABD≌△BCE,得∠BAD=∠CBE,∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=60°.7.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为(B)A.5B.2+1C.22+1D.52+1【解析】取AB的中点M,连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时,CE的值最大,∵将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2,∵E为BC'的中点,∴EM=12AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=22,∴CM=12AB=2,∴CM+EM=2+1.7\n8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,O是AB的中点,D,E分别是边AC,BC上的动点.下列结论:①若∠DOE=90°,则四边形CDOE的面积是定值;②若AD=CE,则∠DOE=90°;③若∠DOE=45°,则△AOD与△BEO相似;④若△AOD与△BEO相似,则∠DOE=45°.其中正确的是(C)A.①②B.①③④C.①②③D.①②③④【解析】连接OC.∵AC=BC,O是AB的中点,∴OC⊥AB,∵∠ACB=90°,∴OC=AO=BO,∴∠A=∠ACO=∠BCO=∠B=45°.∵∠DOE=90°,∴∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE,∴S四边形CDOE=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△AOC=12S△ABC,即四边形CDOE的面积是定值,故①正确;∵AD=CE,易证△AOD≌△COE,由OC⊥AB可得∠DOE=90°,故②正确;∵∠DOE=45°,∴∠AOD+∠BOE=135°,∵∠AOD+∠ADO=135°,∴∠BOE=∠ADO,∵∠A=∠B,∴△AOD∽△BEO,故③正确;△AOD与△BEO相似分两种情况:△AOD∽△BEO或△AOD∽△BOE,故④不正确.二、填空题(每小题5分,满分15分)9.如图,AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D,若∠CBD=30°,则∠A的度数为 40° . 【解析】设∠A的度数为x,∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=x,又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=x+30,根据题意得x+2(x+30)=180,解得x=40,即∠A=40°.10.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的一点,连接BE并延长,交CD的延长线于点F,若AE∶ED=2∶1且平行四边形ABCD的面积为24,则△DEF的面积是 2 . 【解析】∵ED∶AE=1∶2,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴S△DEFS△AEB=14,∵AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△CBF,DEBC=13,∴S△DEFS△CBF=19,∴S△AEB=4S△DEF,S四边形BCDE=8S△DEF,∴4S△DEF+8S△DEF=24,解得S△DEF=2.11.如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c,给出以下几个结论:7\n①如果AD是BC边中线,那么CE是AB边中线;②AE的长度为c+a-b2;③BD的长度为b+a-c2;④若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,则S=AE·BD.其中正确的结论是 ②③④ .(将正确结论的序号都填上) 【解析】当AD是BC边中线时,则BD=CD,∵△ABD与△ACD的周长相等,∴AB=AC,但此时不能得出AC=BC,即不能得出CE是AB的中线,故①不正确;∵△ABD与△ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,∴AB+BD+AD=AC+CD+AD,∴AB+BD=AC+CD,∵AB+BD+CD+AC=a+b+c,∴AB+BD=AC+CD=a+b+c2,∴BD=a+b+c2-c=a+b-c2,同理AE=a+c-b2,故②③正确;当∠BAC=90°时,则b2+c2=a2,∴AE·BD=a+c-b2×a+b-c2=14[a+(c-b)][a-(c-b)]=14[a2-(c-b)2]=14[a2-(c2+b2-2bc)]=14×2bc=12bc=S,故④正确.三、解答题(满分73分)12.(8分)计算:sin245°+3tan30°-3tan60°·cos30°.解:原式=222+3×33-3×3×32=12+3-92=-4+3.13.(12分)如图1,直线l上有两个点A,B,图中有2×12=1条线段;如图2,直线l上有三个点A,B,C,图中有3×22=3条线段;如图3,直线l上有四个点A,B,C,D,图中有4×32=6条线段;….(1)图4中有多少条线段?(2)猜想:若直线l上有n个不同的点,则图中有 条线段.(用含n的代数式表示) (3)应用:春节期间,10位朋友之间互通电话问候,且每两位朋友之间只通一次电话,则这10位朋友之间需通多少次电话?解:(1)5×42=10(条).(2)n(n-1)2.(3)当n=10时,n(n-1)2=10×92=45(次).∴这10位朋友之间需通45次电话.14.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.7\n解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD=AB2-BD2=132-52=12,∵12·AD·BD=12·AB·DE,∴DE=6013.15.(13分)《男生女生向前冲》是安徽卫视重磅推出的大型户外竞技类真人秀节目,一经推出就受到全国电视观众的青睐.体育爱好者小张站在200米高的楼房(CD)的顶端C处测得冲关赛道“亚洲一号”的起点A的俯角是45°,测得终点B的俯角是30°.(1)求冲关赛道“亚洲一号”AB的长度.(结果保留根号)(2)预计冲关时间在60秒之内(含60秒)即可夺得2022年冲关王.小张在保证不落水的前提下,要想夺得2022年冲关王,他冲关的平均速度至少是多少米/秒?(结果精确到0.1,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:(1)在Rt△ACD中,∵tan45°=CDAD,∴AD=CD=200.在Rt△BCD中,∵tan30°=CDBD,∴BD=CDtan30°=2022.∴AB=BD-AD=(2022-200)米.答:冲关赛道“亚洲一号”AB的长度为(2022-200)米.(2)设小张冲关的平均速度为x米/秒,根据题意,得60x≥2022-200,解得x≥2.4.答:小张要想夺得2022年冲关王,他冲关的平均速度至少是2.4米/秒.16.(14分)已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE.(1)如图1,求证:AD=CD;7\n(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,∴∠ADE=∠CGF,∵AC⊥BD,BF⊥CD,∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,∴∠DAE=∠GCF,∴AD=CD.(2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.17.(14分)已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF.(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图2说明理由.解:(1)连接AD.∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.∵D为BC的中点,∴AD=12BC=BD,∠FAD=45°.∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.(2)BE=AF.理由:连接AD,如图所示.∵∠ABD=∠BAD=∠CAD=45°,7\n∴∠EBD=∠FAD=135°.∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,∴∠EDB=∠FDA.在△EDB和△FDA中,∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠EDB=∠FDA,∴△EDB≌△FDA(ASA),∴BE=AF.7
